巧用动态圆处理带电粒子在磁场中的运动问题

      动态圆是指当带电粒子在足够大的匀强磁场中以速度v向某一方向射出时，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动（不考虑重力）其运动轨迹都是一个圆；若射出粒子的初速度方向转过θ角时，其运动轨迹相当于以入射点A为轴，直径转动θ得到的圆的轨迹，若粒子的速率或磁感应强度B变化，相当于圆的半径改变，也可用这种方法可以解决.从实际问题出发可分为以下几类.
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      1“转动圆法（半径不变）”
      带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题，如图1所示，但粒子的速率不变.这类问题都可以归结为转动圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图1所示.解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的.
      例1如图1所示，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速率都为v.对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大x是多少？最大y是多少？
      解析沿-x轴方向射出的粒子圆心在y轴上，由图3所示利用几何关系可知，所有粒子运动的圆心在以O为圆心，R为半径的圆中的第一象限部分，则可知，粒子在x轴和y轴上达到的最远距离为均2R=2mv/qB.
      2“转动圆法（半径变化）”
      带电粒子在某点速率和方向均改变问题，相当于转动圆的同时，圆的半径还可以变化，如图4所示.
      例2如图5所示，两个相切的圆表示一个静止原子核发生某种核变化后，产生的两种运动粒子在匀强磁场中的运动轨迹，可能的是
      A.原子核发生了α衰变B.原子核发生了β衰变
      C.原子核放出了一个正电子D.原子核放出了一个中子
      解析两个相切的圆表示在相切点处是静止的原子核发生了衰变，由于无外力作用，动量守恒，说明原子核发生衰变后，新核与放出的粒子速度方向相反，若是它们带相同性质的电荷，则它们所受的洛伦兹力方向相反，则轨道应是外切圆，若它们所带电荷的性质不同，则它们的轨道应是内切圆.图示的轨迹说明是放出了正电荷，所以可能是α衰变或放出了一个正电子，故A、C两选项正确.
      3“伸缩圆法”
      带电粒子的速度方向不变，速率改变问题，此时相当于改变圆的半径，如图6所示，带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或质量改变）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动.把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆，如图7所示.解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的.
      例3长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图7所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是
      A.使粒子的速度v
      B.使粒子的速度v>5BqL/4m
      C.使粒子的速度v>BqL/m
      D.使粒子速度BqL/4m<5bql m="">
      解析由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：
      4平动圆法
      带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得.如图8所示.
      解析粒子在二磁场中的运动半径分别为
      R1=mv0qB1，R2=mv0qB2=2R1.
      由粒子在磁场中所受的洛伦兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示.粒子从点O出发第6次穿过直线ab时的位置必为点P；故粒子运动经历的时间为t=3（T12+T22），
      T1=2πmqB1，T2=2πmqB2，
      而粒子的运动周期代入前式有t=9πm2qB2，
      粒子经过的路程s=3（πR1+πR2）=9πmv0qB2，
      点O与P的距离为OP=3×2R1=6mv0qB1.
      5跳动圆法
      先在磁场中做匀速圆周运动，接着进入无磁场区直线运动，再回到磁场区又做匀速圆周运动；这样重复进行下去.这种运动中一个过程等效有个 “圆”在不停着跳动.
      （2）设带电粒子初始入射速度为v1，改变速度后仍然经过上方的磁场区域一次后到达N点，此时速度的改变量最小，设为v2，粒子改变速度后，在磁场中运动的轨道半径为r′，带电粒子的运动轨迹如图12所示.
      由图中几何关系有L=4r′sin30°+3d2tan30°，
      根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有
      粒子入射速度的最小变化量Δv=|v2-v1|，
      联立以上各式解得Δv=qBm（L6-34d）.
      （3）粒子可能从上方磁场出来后经过M点，也可能从下方磁场出来后经过M点，不妨假设粒子共n次经过了磁场区域到达了M点，此时在磁场中运动的轨道半径为rn，速度为vn，根据牛顿第二定律和洛伦兹力大小公式有
      由于粒子经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点，因此粒子不可能只经过上方一次射出后直接到达M点，因此有n≥2.
      又因为，粒子必须能够经过磁场改变其运动速度的方向才能到达M点，因此满足n
      vn=qBm（Ln-3d）（其中2≤n<3l3d，且n为整数）.>
      从以上分析可知，利用圆规、硬币从动态圆角度可快捷的解决复杂的带电粒子在匀强磁场中运动的相关问题，这种方法简单易学，学生也能容易掌握规律.教学中发现学生对这种借助简单的道具解决问题的方法不仅充满了好奇心，解决问题的过程中充满新鲜感，而且在解决完问题后又一片惊叹：原来问题可以这样来解决！寓教于乐，给人以深刻的思维启迪.
      综上所述，带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛伦兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中运动距离以及运动时间不太难.