专题五 带电粒子在磁场中的运动
【备考策略】
根据近三年高考命题特点和命题规律，复习专题时，要注意以下几个方面：
1. 通过复习，整合磁场基本知识，弄清楚带电粒子在磁场中运动的基本规律，掌握带电粒子在有界磁场中运动问题的基本方法；区分有边界磁场中圆心、半径、临界条件、周期和时间等问题的解决方法，并注意几何关系的灵活应用
2. 归纳总结复合场的基本知识，加强电场、磁场与力学知识的整合，分清带电粒子在不同复合场中的运动形式和遵循的运动规律，特别弄清楚粒子在分区域场中的分阶段运动，总结出复合场问题的解题思路、解题方法、解题步骤.
3. 充分注意带电粒子在复合场中运动规律的实际应用问题.如质谱仪、 回旋加速器、速度加速器、电磁流量计等.
【考纲点击】
重要考纲
要求
洛伦兹力公式
Ⅱ
带电粒子在匀强磁场中的运动
Ⅱ
带电粒子在匀强电场中的运动
Ⅱ
【网络互联】
第1讲 带电粒子在磁场中的运动
【核心要点突破】
知识链接
一、洛仑兹力
1、公式：F＝qvBsinα(α为v与B的夹角)
2、特点：洛伦兹力F的方向既垂直于磁场B的方向，又垂直于运动电荷的速度v的方向，即F总是垂直于B和v所在的平面．故永远不对运动电荷做功。
3、方向的判断：左手定则
二、带电粒子在匀强磁场中的运动公式
深化整合
一、 电场力和洛伦兹力的比较
电场力 | 洛仑兹力 | |
力存在条件 | 作用于电场中所有电荷 | 仅对运动着的且速度不跟磁场平行的电荷有洛仑兹力作用 |
力力大小 | F=qE与电荷运动速度无关 | F=Bqv与电荷的运动速度有关 |
力方向 | 力的方向与电场方向相同或相反，但总在同一直线上 | 力的方向始终和磁场方向垂直 |
力的效果 | 可改变电荷运动速度大小和方向 | 只改变电荷速度的方向,不改变速度的大小 |
做功 | 可以对电荷做功,改变电荷的动能 | 不对电荷做功、不改变电荷的动能 |
运动轨迹偏转 | 在匀强电场中偏转，轨迹为抛物线 | 在匀强磁场中偏转、轨迹为圆弧 |
【典例训练1】不计重力的带电粒子在电场或者磁场中只受电场力或磁场力作用，带电粒子所处的运动状态可能是（ ）
A.在电场中做匀速直线运动
B.在磁场中做匀速直线运动
C.在电场中做匀速圆周运动
D.在匀强磁场中做类平抛运动
【解析】选B、C.带电粒子在电场中必定受电场力作用，因而不能做匀速直线运动，A错.带电粒子在电场中可做匀速圆周运动，如电子绕原子核运动，库仑力提供向心力，C对；带电粒子在磁场中不一定受磁场力作用，如当运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力为零.粒子做匀速直线运动，B对.带电粒子在匀强磁场中不可能做匀变速运动.因速度变化时，洛伦兹力变化，加速度变化，D错，故选B、C.
【典例训练2】（2010·江苏物理卷·T9）如图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场区域的对称轴OO′与SS′垂直。a、b、c三个质子先后从S点沿垂直于磁场的方向射入磁场，它们的速度大小相等，b的速度方向与SS′垂直，a、c的速度方向与b的速度方向间的夹角分别为，且。三个质子经过附加磁场区域后能达到同一点S′，则下列说法中正确的有
A．三个质子从S运动到S′的时间相等
B．三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在OO′轴上
C．若撤去附加磁场，a到达SS′连线上的位置距S点最近
D．附加磁场方向与原磁场方向相同
【命题立意】本题以三个速度大小相同的质子在磁场中运动，考查带电粒子在磁场中的运动，题目设置较难。
【思路点拨】解答本题可按以下思路分析：
【规范解答】
选CD。三个质子从S运动到过程，运动轨迹的长度从a、b、c依次增大，由于洛仑兹力对质子不做功，三个质子速度大小始终相等，运动时间不相等，A错误；三个质子在附加磁场以外区域及附加磁场区域运动时，以质子b为例画出其运动轨迹图两种情况（R>r和Rr）如图①②所示，由图可以看出质子b的运动轨迹的圆心不在轴上，所以B错误；用作图法可知，若撤去附加磁场，a到达连线上的位置距S点距离为，b到达连线上的位置距S点距离为，c到达连线上的位置距S点距离为，可知a到达SS′连线上的位置距S点最近，C正确；因b要增大曲率，才能使到达连线上的位置向S点靠近，所以附加磁场方向与原磁场方向相同，D正确。
【高考真题探究】
1.（2010·新课标全国卷·T25）（18分）如图所示，在0≤ x ≤ a、0≤ y ≤ 范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
（1）速度的大小；
（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
【命题立意】本题以大量带电粒子沿各个方向在有界匀强磁场中作匀速圆周运动，建立一幅动态运动图
景，考查考生空间想象能力和运用数学知识处理物理问题的能力。
【思路点拨】解答本题可按以下思路分析：
【规范解答】
（1）设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得：
， ① （2分）
由①解得： ② （1分）
画出沿﹢y方向以a/2为半径做匀速圆周运动轨迹如图①所示，再画出从坐标原点O沿与y轴正方向以半径R0（a/2<>0<>）做匀速圆周运动且圆弧轨迹与磁场上边界相切时的临界轨迹②，然后将临界轨迹②以O为圆心顺时针或逆时针旋转，根据在磁场中的轨迹线的长度即可判断运动时间的长短，如下图所示。从图不难看出临界轨迹②对应的运动时间最长。
当时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的上边界相切，如图所示，设该粒子在磁场中运动的时间为t，依题意，得：
。 ③ （4分）
设最后离开磁场的粒子的发射速度方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系可得：
④ （2分）
⑤ （2分）
又 ⑥ （1分）
由④⑤⑥式解得： ⑦ （2分）
由②⑦式得： ⑧ （2分）
（2）由④⑦式得： ⑨ （2分）
【答案】（1）（2）
2.（2010·浙江理综·T24）（22分）在一个放射源水平放射出α、β 和 γ 和三种射线，垂直射入如图所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感强度大小B 相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效应）。
（1）若要筛选出速率大于v1的β 粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d 与B 和v1的关系。
（2）若B＝0.0034T，v1＝0.1c（c是光速度），则可得d，α 粒子的速率为0.001c，计算α 和γ 射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除α和γ 射线的方法。
（3）当d满足第（1）小题所给关系时，请给出速率在，v1vv2区间的 β 粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。
（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的 β 粒子束在右侧聚焦且水平出射。
已知：电子质量，粒子质量，电子电荷量，（时）
【命题立意】本题有机整合了原子物理和磁场内容,体现综合性和新颖性，主要考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动和对三种射线的理解。
【思路点拨】作图分析，找到β 粒子能进入区域Ⅱ临界条件，并画出α、β 粒子开区域Ⅰ和离开区域Ⅱ时的位置，充分利用几何关系。
【规范解答】
（1）根据带电粒子在磁场以洛伦兹力作用后作匀速圆周运动的规律
………………①
由临界条件得的关系为
………………②
（2）由①式可得粒子的回旋半径
由②式得
竖直方向的距离为
可见通过区域Ⅰ的磁场难以将粒子与射线分离，可用薄纸挡去粒子，需用厚铅板挡掉γ射线。
（3）在上述磁场条件下，要求速率在区间的粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。先求出速度为的粒子所对应的圆周运动半径
该β粒子从区域Ⅰ磁场射出时，垂直方向偏离的距离为
同理可得，与速度为v1对应的β粒子从区域Ⅱ时射出时，垂直方向偏离的距离为
同理可得，与速度为v1对应的β粒子垂直方向偏离的距离为
速率在区间射出粒子束宽为2，方向向右侧，如图所示。
（4）由对称性可以设计出如图所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。
3.（2010·全国Ⅰ理综·T26）(21分)．如下图15，在区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻刚好从磁场边界上点离开磁场。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q／m;
(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
【命题立意】本题考查了带电粒子在有边界磁场中的运动,正确分析带电粒 子在磁场中运动的物理过程,并作出粒子轨迹的示意图是解题的关键.
【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析：
【规范解答】
⑴初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图16中的弧OP所示,其圆心为C.由题给条件可以得出
∠OCP= (2分)
此粒子飞出磁场所用的时间为
t0= (2分)
式中T为粒子做圆周运动的周期.
设粒子运动速度的大小为v,半径为R,由几何关系可得
R= a (2分)
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB =m (1分)
T= (1分)
解以上联立方程,可得
= (3分)
(2)依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到O的距离相同(2分)，在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧MN上,如图16所示.
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为vp、vM、vN.由对称性可知vp与OP、vM与OM、vN.与ON的夹角均为π/3.设vM、vN.与y轴正向的夹角分别为θM、θN,,由几何关系有
θM= (1分)
θN= (1分)
对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足
≤θ≤ (2分)
(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图17所示.由几何关系可知,
弧长OM等于弧长OP (1分)
由对称性可知，
弧长ＭＥ等于弧长ＯＰ (1分)
所以从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间
ｔｍ=2 t0 (2分)
【答案】⑴ R = a，=
⑵速度与y轴的正方向的夹角范围是≤θ≤
⑶从粒子发射到全部离开所用 时间 为2 t0
【专题模拟演练】
一、 选择题
1.（2010·扬州四模）如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子速度大
C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间一样长
2.如图1所示，半圆形光滑槽固定在地面上，匀强磁场与槽面垂直，将质量为m的带电小球自槽口A处由静止释放，小球到达槽最低点C处时，恰好对槽无压力，则小球在以后的运动过程中对C点的最大压力为（ ）
A.0 B.2mg C.4mg D.6mg
3.圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图2所示.若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A.a粒子速率最大
B.c粒子速率最大
C.a粒子在磁场中运动的时间最长
D.它们做圆周运动的周期Ta＜Tb＜Tc
4.（2010·上饶市二模）如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上a(0，L)点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，经磁场偏转后从x轴上的b点射出磁场，此时速度的方向与x轴正方向的夹角为60°，且此磁场区域恰好是满足此电子偏转的最小圆形磁场区域(此最小圆形磁场未画出)，下列说法正确的是：
A．此圆形磁场区域边界不会经过原点O
B．电子在磁场中运动的时间为
C．该圆形磁场区域的圆心坐标为(，)
D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，－2L)
5.如图4所示，在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m，电量为q的带电粒子在x轴上到原点的距离为x0的P点，以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场的作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场.不计重力的影响，由这些条件可知（ ）
A.不能确定粒子通过y轴时的位置
B.不能确定粒子速度的大小
C.不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间
D.以上三个判断都不对
6.如图5所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，垂直磁场方向向里射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m,电量为q,ad边长为L,ab边足够长，粒子重力不计，则粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围（ ）
7.两个电荷量分别为q和-q的带电粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°，磁场宽度为d,两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图6所示，则（ ）
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.两粒子轨道半径之比Ra∶Rb=
C.两粒子质量之比ma∶mb=1∶2
D.两粒子的速度之比va∶vb=1∶2
二、 计算题
8. 如图7所示，匀强磁场磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，其边界是半径为R的圆，AB为圆的直径.在A点有粒子源向圆平面内的各个方向发射质量为m、电量为-q的粒子，粒子重力不计.
（1）一带电粒子以v=的速度垂直磁场射入圆形区域，恰从B点射出.试求该粒子在磁场中运动的时间t.
（2）若磁场的边界是绝缘弹性边界（粒子与边界碰撞后将以原速率反弹），某粒子沿直径方向射入磁场，经过2次碰撞后回到A点，试求该粒子的速率.
9.(19分)一个质量为m，电荷量为q的带负电的带电粒子，从A点射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，MN、PQ为该磁场的边缘，磁感线垂直于纸面向里.带电粒子射入时的初速度与PQ成45°角，且粒子恰好没有从MN射出，如图8所示.
（1）求该带电粒子的初速度v0.
（2）求该带电粒子从PQ边界射出的射出点到A点的距离x.
10.（16分）如图9所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B=0.60 T.磁场内有一块足够大的平面感光平板ab，板面与磁场方向平行.在距ab的距离为L=10 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它仅在纸平面内向各个方向均匀地发射α粒子.设放射源每秒发射n=3.0×104个α粒子，每个α粒子的速度都是v=6.0×106m/s.已知α粒子的电荷量与质量之比=5.0×107C/kg.求每分钟有多少个α粒子打中ab感光平板？（图中N为S距ab最近的点）
答案及解析
一、 选择题
1.BD
2.【解析】选D.带电小球由A点释放，经过C点时，速度水平向右，而对槽无压力，则qBv-mg=mv2/R,故小球受洛伦兹力的方向向上，带正电，当小球从B点向回滑时，经过C点，此时带电小球所受洛伦兹力方向向下，则有
FN-mg-Bqv=mv2/R[来源:Zxxk.Com]
FN=2(mg+mv2/R) ①
由机械能守恒有mv2=mgR,即mv2=2mgR ②
由①②两式解得FN=6mg
3.
4.BC
5.【解析】选D.带电粒子以平行于y轴的初速度射入此磁场，在磁场作用下沿垂直于y轴的方向射出此磁场，故带电粒子一定在磁场中运动了个周期，从y轴上距离O为x0处射出，半径R=x0，偏向角为90°.
6.
7.
二、 计算题
8.
9.【解析】(1)若初速度向右上方，设轨道半径为R1
10.
【解析】α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示其轨道半径，有
qvB= （3分）
由此得R=R=20 cm （1分）
因朝不同方向发射的α粒子的轨迹都过S，由此可知，若以S为圆心，R=20 cm为半径画圆，则α粒子的轨迹圆心都在此圆上，如图所示，圆上C、D两点分别距感光平板为R=20 cm的点，且CP1=DP2=20 cm，由几何关系可知，C、D两点分别为能打到感光平板上的α粒子的轨迹圆心在S左、右两侧的最低位置.设以C为轨迹圆心的α粒子从S射出的方向与SN的夹角为θ.
【备课资源】
1.(2009·安徽高考)如图5-1-9是科学史上一张著名的实验照片,显示一个带电粒子在云室中穿过某种金属板运动的径迹.云室放置在匀强磁场中,磁场方向垂直照片向里.云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用.分析此径迹可知粒子( )
A.带正电,由下往上运动
B.带正电,由上往下运动
C.带负电,由上往下运动
D.带负电,由下往上运动
【解析】选A.粒子穿过金属板后，速度变小，由半径公式r=可知，半径变小，粒子运动方向为由下向上；又由于洛伦兹力的方向指向圆心,由左手定则，粒子带正电，故选A.
2.(2008·广东高考)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离，从而显示其运动轨迹.图5-1-10是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹，a和b是轨迹上的两点，匀强磁场B垂直纸面向里.该粒子在运动时，其质量和电量不变，而动能逐渐减小，下列说法正确的是（ ）
A.粒子先经过a点，再经过b点
B.粒子先经过b点，再经过a点
C.粒子带负电
D.粒子带正电
【解析】选A、C.因为粒子的动能逐渐减小，即它的速率逐渐减小，由r=可知，粒子的曲率半径逐渐减小，所以粒子先经过a点，再经过b点.A对，B错.由于粒子向右偏转，根据左手定则可推断，粒子带负电，C对，D错.
3.如图5-1-11所示，ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为e/m的电子以速度v0从A点沿AB边出射，欲使电子经过BC边，则磁感应强度B的取值为（ ）
4.如图所示，两个横截面分别为圆形和正方形、但磁感应强度均相同的匀强磁场，圆的直径D等于正方形的边长，两个电子以相同的速度分别飞入两个磁场区域,速度方向均与磁场方向垂直.进入圆形区域的电子速度方向对准了圆心，进入正方形区域的电子是沿一边的中心且垂直于边界线进入的，则( )
A.两个电子在磁场中运动的半径一定相同
B.两电子在磁场中运动的时间有可能相同
C.进入圆形区域的电子一定先飞离磁场
D.进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场
【解析】选A、B、D.将两区域重合，正方形为圆的外切正方形，电子以相同的速度射入磁感应强度相同的匀强磁场中， 半径一定相同，轨迹有相同的情况，在正方形区域中的轨迹长度一定大于等于在圆形区域的长度，即电子在圆形区域的运动时间小于等于在正方形区域运动的时间.
5.K-介子衰变的方程为K-→π-+π0，其中K-介子和π-介子带负的元电荷e，π0介子不带电.如图所示，两匀强磁场方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度分别为B1、B2.今有一个K-介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1中，其轨迹为圆弧AP，P在MN上，K-介子在P点时的速度为v，方向与MN垂直.在P点该介子发生了上述衰变.衰变后产生的π-介子沿v的反方向以大小为v的速度射出，其运动轨迹为图中虚线所示的“心”形图线.则以下说法中正确的是( )
A.π-介子的运动轨迹为PENCMDP
B.π-介子运行一周回到P点用时为T=
C.B1=4B2
D.π0介子做匀速直线运动
6.（2010·湖雷模拟）如图8所示，在加有匀强磁场的区域中，一垂直于磁场方向射入的带电粒子轨迹如图8所示，由于带电粒子与沿途的气体分子发生碰撞，带电粒子的能量逐渐减小，从图中可以看出（ ）
A、带电粒子带正电，是从B点射入的；
B、带电粒子带负电，是从B点射入的；
C、带电粒子带负电，是从点射入的；
D、带电粒子带正电，是从点射入的。
解析：选B.带电粒子由于与沿途的气体分子碰撞，动能减少，由半径公式可知半径逐渐减少，所以运动方向由B到A,再由左手定则可知带电粒子带负电，B对.
7.(2009·福建高考)图5-1-12为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T，在x轴上距坐标原点L=0.50 m的P处为离子的入射口，在y轴上安放接收器.现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力.
（1）求上述粒子的比荷;
（2） 如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场.
【解析】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r.如图甲，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得
由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得
qvB=m ②
联立①②并代入数据得
=4.9×107 C/kg
(2)设所加电场的场强大小为E.如图乙，当粒子经过Q点时，速度沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有
qE=qvB
代入数据得
E=70 N/C
所加电场的场强方向沿x轴正方向.由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为45°，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有
联立①③④并代入数据得
t=7.9×10-6s
答案：（1）4.9×107C/kg
(2)70 N/C 沿x轴正方向 7.9×10-6 s
8.（10分）电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点儿打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多大？（已知电子的质量为m，带电量的大小为e）
解析: 电子在磁场中沿圆弧运动，圆心为C，半径为R。
以v表示电子进入磁场时的速度，
m、e分别表示电子的质量和电量，则
又有
由以上各式解得
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