众所周知,高尔夫球表面的凹痕对其空气动力学特性至关重要:它们会产生湍流,减少球的阻力。这听起来是不是违反直觉?一般来说,光滑的物体比粗糙的物体更符合空气动力学。在今天的文章中我们将深入探讨这个看起来有明显悖论的问题;学习如何在 COMSOL Multiphysics® 软件中使用这些知识模拟高尔夫球的轨迹,最终找到击球的最佳角度。阅读本文,了解获得一杆进洞的机会……
虽然我不知道如何打好高尔夫球,但是我认为球表面凹痕的存在是有原因的,可能是为了美观或让球在空中飞得更快。
现在,通过工程师的视角再看一遍那些熟悉的球:为什么它们有凹痕?我可以使用 COMSOL Multiphysics 模拟高尔夫球吗?我可以优化我的击球方式以减少丢球,并有可能打出标准杆吗?之前的一篇文章讲解了“借助仿真提升高尔夫的挥杆技巧”,但仍需要更多可以帮助我的信息,所以我找到了相关教科书……
其中,
Gustave Eiffel 和 Ludwig Prandtl 几乎同时观察到,根据流态的不同,球体的阻力系数不是恒定的,甚至在很小的雷诺数范围内也有显著的差异。这种阻力系数的突然下降通常被称为阻力危机,在其他类型的球(如足球和橄榄球)中也可以观察到。唯一的区别是阻力危机发生的位置,如下图所示。
光滑的球和高尔夫球的阻力系数分布比较。凹痕已将阻力危机转向较低的雷诺数值,但与光滑的球相比,下降幅度较小。另请注意,高尔夫球的阻力系数仅在有限的雷诺值范围内较小。
已知球手击出的高尔夫球的典型速度约为 260 公里/小时(160 英里/小时),考虑高尔夫球官方的设计(
你可能对这个答案不满意。我们观察到,有凹痕的高尔夫球具有较低的阻力,但我们还没有解释 为什么阻力危机发生在较低的速度。要理解这种现象,我们必须仔细观察球体周围的流动。
首先,我们回顾一下,物体的阻力是由两个来源引起的:
压差阻力,也称为 型阻,由在物体周围的压力分布产生。
沿边界的剪切应力产生的黏性阻力
对于钝体,例如光滑的球,压差阻力在所研究的雷诺数范围内最为显着。因此,球体周围的压力分布将决定其总阻力。
在不涉及湍流理论的情况下,首先在球体的前部形成层流边界层(流动在几乎不交换质量或动量的不同层中分离)。从这一点来看,有两种选择,具体取决于流动的类型:
如果流动是充分的层流(低雷诺数),边界层将没有时间过渡到湍流边界层,就会由于不利的压力梯度在大约 82° 的角度处分离,并在球体后面产生大的尾流。
如果流动是充分的湍流,边界层将有时间在临界 的82°之前过渡到湍流边界层。当这种情况发生时,流动会更好地混合,这使得边界层顶部的动量交换成为可能。这会使边界层底部获得能量,增加了壁面附近的速度梯度,并将流动分离延迟到大约 120°的角度。看起来流动 “黏”在表面上的效果更好。
高尔夫球和光滑球体后面的湍流尾流的比较。雷诺数约为 1e5。
源自湍流边界层分离的带凹痕的高尔夫球(顶部)和源自层流边界层分离的光滑球(底部)后面的湍流尾流的比较。请注意,凹痕球的分离点位于更远的下游,尾流也更小。
大量能量在湍流尾流中损失,使压力显著下降。因此,作为球体的主要阻力,压差阻力就主要受尾流区域大小的影响。根据这些信息,阻力系数图就更能说得通。对于高尔夫球来说:
由于凹痕诱导产生的小涡流,雷诺数较低时会发生从层流边界层到湍流边界层的过渡。这会产生较小的尾流,因此阻力较小。
与光滑的球相比,凹痕球的阻力危机并不深。对于相似的尾流大小,粗糙的表面使得来自前方球体的黏性阻力变得不可忽略。
现在,我们明白了为什么高尔夫球会有凹痕:阻力较低,因此球可以走得更远。为了知道球可以走多远,我们首先需要计算它的轨迹。作用在球上的力和初始条件如下图所示,忽略浮力的影响,因为球几乎比相应体积的空气重 1000 倍。
初始条件和作用于高尔夫球上的力。
初始条件可以从之前的性能分析的最终结果中得出,其中球被 7 号铁杆以 145 公里/小时(90 英里/小时)的轴速击打:
虽然可以说结果是针对老式高尔夫球获得的,而且现在的曲线可能有所不同,但 Bearman 和 Harvey 的结果涵盖了现有文献中最大范围的雷诺数和自旋因子。因此,不应将本文中获得的结果视为现代高尔夫球的真实值。下面的曲线是通过使用结合使用 COMSOL 模型和曲线拟合 App 对来自参考文献1 中图 9 的数据使用曲线数字化仪 App 拟合三次多项式曲线而获得的:
以自旋因子计算的阻力和升力系数分布。
光滑球的阻力系数取自标准阻力相关性(见第一张图片),升力系数近似等于旋转高尔夫球的升力系数(实际上这个系数更小)。
式中,
和
该方程组由一组常微分方程 (ODE) 组成,由于所有变量之间的依赖关系,它可能看起来很复杂。然而,使用 COMSOL Multiphysics 来实现和求解实际上很简单。
实现这个问题的最简单的方法是在一个 0 维组件中使用 事件 接口,它既可以使用全局方程节点求解方程8,并在球落地时(
设置研究使用的变量。
第一步是设置研究使用的不同变量。在软件中,它们是通过不同的函数和全局参数来计算的。特别是, smooth 参数决定了被发射球的类型:
带凹痕的高尔夫球 ( smooth=0)
光滑球 ( smooth=1)
数量 xt 和 yt 是位置的时间导数,由事件接口计算。
求解球的位置的全局方程组。
第二步是使用相应的初始条件建立方程8的系统。由于已经定义了所有参数和变量,因此这一步很简单。
离散状态接口用于定义球是否已经落地。
与之前的文章一样,添加一个最适合开/关条件的离散状态变量。这代表了球的整体状态:它要么已经着陆,要么没有。最初,球被认为没有落地,所以 landed=0。
指示器状态接口仅仅是当前的高度。一旦球落地,离散状态就会打开。
离散状态只有当球接触地面时才会被更新。我们不知道这个事件什么时候会发生,但我们可以用数学方法来翻译它(高度变成负数)。这就是隐式事件节点的确切用途:当指示器状态(此处为当前高度)满足特定条件时,事件就被触发。
求解器序列被修改以添加停止条件。
最后一步是创建研究节点。参数研究 可以被用来依此计算高尔夫球和光滑球,和随时间变化的研究可以用于求解球的轨迹。为了事件被激活时停止计算,需要修改瞬态研究中的求解器序列。
现在一切都设置好了,让我们开始研究吧!
高尔夫球和被 7 号铁杆击中的光滑球的轨迹的实时动画。与光滑球相比,有凹痕的球受到的阻力要小得多(颜色图例显示了阻力系数)。请注意,球在轨迹的顶部经历了阻力危机,其速度(因此雷诺数)变低。
请注意,轨迹的形状不是抛物线,如果忽略阻力或升力,人们可能会发现。球首先几乎直线上升,然后在达到最大高度后突然下降。从结果中可以看出,与光滑的球相比,带有凹痕的球前进了 25%(30 米或 33 码)。换句话说,现在离草地更近了,并且不需要额外的力!
这个解释来自这样一个事实,即在整个飞行过程中,对抗球运动的阻力对于高尔夫球来说要小得多(原因在开头已经提到)。当球达到其最大高度时,与高度成正比的势能也达到最大值。这种能量转移是在损失动能的情况下进行的;所以球走得更慢。因此,雷诺数减少(或等效地,自旋因子增加)并且阻力因此增加。
关于大约 150m(165 码)的绝对运球距离,这远大于普通球员的典型高尔夫击球距离(128 m 或 140 码),但处于 PGA 球员典型击球距离的下限。考虑到阻力和升力数据并非源自现代高尔夫球,该结果是合理的。
凹痕对高尔夫球的影响现在应该很清楚了:它们使球飞得更远。然而,实际上,这并没有说明我应该如何 击球。假设杆身速度和攻角恒定,我应该给球施加什么发射角度,才能优化运球距离?第一种方法是运行参数研究,甚至是优化研究,来找到该值。这是一个图表,显示了在给定攻角和旋转速率下,根据发射角度的运球距离。
参数研究的结果,使用 -4.3° 的攻角和 6113rpm 的初始旋转,使用 7 号铁杆。看起来最佳发射角度应该在 20° 左右。
从这个数字来看,最佳攻角似乎在 20° 左右。然而,PGA 高尔夫球手(理论上,他们应该平均接近优化的角度)平均以 16° 的角度射击。出了什么问题?我们关于恒定旋转速率的假设是错误的:以更大的发射角度击球意味着击球时杆面需要“更加水平”。就像网球中的球被“切片”一样,由于摩擦力更大,高尔夫球旋转得更快,但速度更慢。
恒定攻角的两个动态杆面倾角的比较。该角度的测量是与水平线相比。当动态杆面倾角增加时,发射角增加。由于动态杆面倾角和攻角(通常称为“旋转倾角”)之间的角度变大,球会旋转得更快。
找到发射角度、旋转速率和球速之间的关系不是直接的,而且不需要实验或模拟的结果。那么,既然我们已经准备好了一个高尔夫球模型,就通过参数化来使用它!
教程模型参数化结果。使用三次样条对这些点进行插值以获得更平滑的曲线。正如预期的那样,较大的发射角会增加旋转速率,而速度则具有相反的行为。
我们必须谨慎对待结果,并应该进行更详细的研究,包括网格收敛研究,与其他轴的曲线比较等。尽管如此,结果仍然足够符合现实。
7 号铁杆的运球距离,取决于非恒定旋转的 -4.3° 攻角的发射角度。曲线已转移到较低的发射角度值,以更好地捕捉真实世界的行为。
现在我们可以使用正确的自旋和速度值再次运行参数研究。请注意,曲线已向左移动。换句话说,似乎减小发射角度(因此是动态杆面倾角)有助于减少自旋,并为球提供更高的平移动能。正如人们所期望的那样,该曲线并未以 16° 为中心。然而,为了获得这个结果,人们提出了许多假设(例如阻力和升力的分布以及自旋速率的相关性),这些假设对最终结果有很大影响。关于现代高尔夫球和球撞击分析的数据越多,越有助于获得更准确的结果。
在今天的文章中,我们回答了一个关于高尔夫球凹痕的看似简单的问题,这与特定雷诺数范围内球体上湍流边界层的行为有关。这也概述了工程中的一个经典过程。对普通物体的观察使我们对复杂的物理现象有了更深入的了解,进而使我们能够在 COMSOL Multiphysics 的某些假设下对其进行建模和验证。最后,我们找到了一个最佳的发射角度,并提取了对真实击球有用的信息。
很多高尔夫球观众可能已经问过与我类似的问题。要记住的教训是,尽量降低动态倾角,同时保持相同的攻角,以降低旋转速度。虽然仿真结果听起来很简单,但我不确定如何在球道上做到这一点。所以,如果要打好高尔夫球需要请教专业的高尔夫教练,而不是模拟工程师!
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