定积分

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“积分”有「不定积分」和「定积分」，学完了不定积分，定积分又是什么，它们存在关联关系吗？

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应用

• 已知梯田区域，如何求梯田的面积？

  

• 已知拱桥曲线，如何求曲线长度？

  

以梯田面积的计算为例

若梯田由曲线  其面积计算过程如下.

划分（「化整为零」）

内任意插入若干分点：，每个小区间为，区间长度为.

近似（「以直代曲」）

任取，第个曲边梯形面积近似为第个矩形面积：.

求和（「积零为整」）

所有矩形面积求和：

极限（「抛光磨平」）

当最大区间长度趋于0时，矩形面积的极限即为曲边梯形的面积：

其中

定积分

若将上述四步抽象出来，则得到了定积分的定义：

• 「划分」 若在内有定义，内任意插入若干分点： 每个小区间为 区间长度为 .

• 「近似」 任取，第个曲边梯形面积近似为第个矩形面积：.

• 「求和」 所有矩形面积求和：.

• 「极限」 对任意的划分和，均有，则称为在的定积分，并记为

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定积分如果通过定义计算会很复杂，牛顿-莱布尼兹公式将定积分和不定积分建立联系，从而可以便捷的计算定积分，但有些时候无法计算原函数，那么此时需采用数值计算或统计计算的方法求解.

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