应用插值型求积公式数值求定积分非常有效,但其中等距节点的Newton-Cotes公式最多只有(为偶数时)次代数精度,如何提高代数精度?
则可构造代数精度为次的求积公式,其中为权函数. 由此构造出来的求积公式称为高斯(Gauss)型求积公式,其中 称为高斯点, 称为高斯系数.
如何计算高斯点 与高斯系数 ?
注记:Gauss型求积公式在机械求积公式中代数精度最高.
利用与带权正交,可求出,从而确定高斯点.
两种特殊情形:
由于是插值型求积公式并且具有次代数精度,联想在上的Hermite插值多项式,并由此推出余项为:
令,其中 为Lagrange插值基函数,那么
当,时的高斯型求积公式:
当,时的高斯型求积公式:
零点:
高斯-切比雪夫求积公式:
注记:
多重积分的数值计算可采用先累次积分,再由内到外对采用数值积分. 但对于重数较多的积分,会出现维数灾难的问题,因此建议采用统计计算中的蒙特卡洛方法等!
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