数值积分——高斯型求积公式

       应用插值型求积公式数值求定积分非常有效，但其中等距节点的Newton-Cotes公式最多只有（为偶数时）次代数精度，如何提高代数精度？

1问题剖析

• 若对积分区间不取等距节点，即节点未知且权系数亦未知，那么有个未知系数，若将代入下式

则可构造代数精度为次的求积公式，其中为权函数. 由此构造出来的求积公式称为高斯(Gauss)型求积公式，其中  称为高斯点， 称为高斯系数.

• 如何计算高斯点  与高斯系数 ？

• 求解由代数精度得到的非线性方程组？不可行！
• 先确定高斯点，再确定高斯系数？ 可行！

• 注记：Gauss型求积公式在机械求积公式中代数精度最高.

2高斯型求积公式

高斯点

• 通过上述分析，应先确定高斯点，我们有如下定理与推论：

• 利用与带权正交，可求出，从而确定高斯点.

• 两种特殊情形：

• ，时，高斯点为勒让德多项式的零点.
• ，时，高斯点为切比雪夫多项式的零点.

高斯系数

• 方法1：求解由代数精度得到的线性方程组.
• 方法2：

余项

由于是插值型求积公式并且具有次代数精度，联想在上的Hermite插值多项式，并由此推出余项为：

稳定性

令，其中 为Lagrange插值基函数，那么

3高斯-勒让德求积公式

当，时的高斯型求积公式：

• 注记：
• 当时，可通过MATLAB或Python求的根，然后求解线性方程组得到，从而得到对应的高斯-勒让德求积公式.
• 由正交性可算出余项：

4高斯-切比雪夫求积公式

当，时的高斯型求积公式：

• 零点：

• 高斯-切比雪夫求积公式:

• 由正交性可算出余项：

• 高斯-切比雪夫求积公式计算反常积分的MATLAB代码

• 注记：

• 可使用复化的高斯型求积公式提高精度.
• 无穷区间的高斯型求积公式：

  

       多重积分的数值计算可采用先累次积分，再由内到外对采用数值积分. 但对于重数较多的积分，会出现维数灾难的问题，因此建议采用统计计算中的蒙特卡洛方法等!