CALCULUS in CHINA
微积分
的中国
之源
前情提要
在微积分的概念诞生之前，球体的体积公式一直是数学家们所研究的难题。著名数学巨著《九章算术》中记载，球的体积公式为V球 = 9d3/16，然而魏晋数学家刘徽发现了这个公式的问题，它不仅将圆周率默认为3，还将球和外切圆柱的体积比计算错误，最终得到球和其外接圆柱的体积之比为3:4。因此，为求得球体体积，刘徽和一千年之后的伽利略类似，构造了一个叫“牟合方盖”的立体。
刘徽(约225年-约295年)
一、何为牟合方盖
刘徽从圆柱体入手，他考虑用两个直径相等的圆柱体，将这两个圆柱体相互垂直地插起来，把这样得到的公共部分叫“牟合方盖”：“牟合”意为严丝合缝地闭合；而“方盖”意为马车上的伞盖。
牟合方盖恰好把正方体的内切球包含在内，且与其相切。如果用同一个水平面去截它们，就能得到一个圆（球的截面）和它的外接正方形（牟合方盖的截面）。
因此，刘徽指出，若在任一水平处做截面，截出的圆形和正方形面积比都是π:4 ，所以球和牟合方盖的体积比也是π:4。在其中，刘徽便已经默认了祖暅原理的正确性，但没有严格地证明。
二、何为祖暅原理
早在南北朝时期（公元6世纪），祖冲之的儿子祖暅便发现了这个原理，因此我们将其称为“祖暅原理”。在《缀术》中，“祖暅原理”概括为“幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”为等高处的截面积；“势”为几何体的高；“积”为体积。也就是说两个等高的几何体，在等高处的截面积都相等，则其体积相等。
祖暅原理用自然语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
三、祖暅定理的证明
设一空间几何体Γ夹在两个水平平面 h=a和h=b之间，不妨设a<b，它被平行于水平平面的平面截得的截面面积为S(h)，S(h)是关于h的连续函数。
将[a,b]分为n份，分点依次为a=h0<h1<h2<……<hn=b。
于是几何体Γ被分为了n个部分，自下而上第k个部分的厚度是hk-hk-1，记∆k=hk-hk-1。
第k个部分上下两个截面的面积分别是S(Kk)和S(Kk-1)。
当n足够大的时候，每一个部分都很薄，S(Kk)和S(Kk-1)相差甚微。
所以第k个部分的体积近似等于S(hk)·∆k，
四、用祖暅定理证明球的体积
设有一个半径为R的球，和柱体、锥体一样，我们也可以应用祖暅原理推导球的体积公式。我们先只考虑半球，即由球的个大圆把球切成两部分中的一部分（图1）。作为对比的几何体，我们取底面半径为R、高为的圆柱，并从中切去一个倒置的底面半径为R、高为R的圆锥（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心）。（图2）
五、用微积分证明球的体积
六、小试牛刀
“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值南北朝时期祖恒提出理论:“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积其大体思想可用如图表示，图1为棱长为2r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为2r的正方体的八分之一，图3是以底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是（ ）
答案：BCD
约公元6世纪，刘徽、祖暅在独立的情况下自行创出“牟合方盖”、“祖暅原理”，在我国乃至世界数学史上都是极其伟大的成就。在西方，祖暅原理直到17世纪才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）再次提出，因此被称为卡瓦列里定理，标志着无穷小算法时代的来临，最终催生出了早期的微积分。因此，牟合方盖和祖暅原理也是微积分的中国之源！
撰稿：韩宁、张程
编辑：李泽辰
总责：宗姗
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