数学物理方程例题

1. 寻找波动方程 如下形式的解:

2. 考察如下方程

试作适当变换，化该方程为热传导方程

3. 求解如下方程初边值问题

并讨论当 时 的性态,其中

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参考解答：

1

由知.

进而有

代入  中得

不妨设 , 则 则有 .

即 .

令 进而有 .

注意到，由凑微分的思想（或者积分因子法或者常数变易法求解） 将上式化为

通过积分得 则有

积分得

因此

故 . 其中 为常数.

2

设, 则  ,

代入中有

即一维热传导方程 ,其中

3

采用分离变量法求解: 设 代入方程得

从而得到关于 的常微分方程

由边界条件，得 . 下面求解该特征值问题

经过讨论只有 有非平凡解，

解方程 得

解方程 . 得 .

由于 , 即

再由 有

从而得

令 则有 . 方程 的根可以看作正切曲线 与直线 的交点的横坐标.

根据图象知它们的交点有无穷多个, 它们关于原点对称分布. 设方程的无穷多个正根依次为

于是得边值问题的特征值 相应的特征函数为：

同理

于是得到一列可分离变量的特解

其中

由于方程和边界条件是齐次的，利用叠加原理。可设定理问题的解为

由初始条件 得

为求得 ，对上式两端乘以 并利用正交性,则有

令  , 下面计算

故

显然对 有 . ( 为仅与的最大模有关的常数)

由 所满足的估计式可知，当 时  故有

另一方面，由指数函数的性质可知， 当 时, 对 有

其中 为一个与 无关的常数

于是当 时, 对 成立:

故 时，对 . 有 .

其中 为一个与解无关的正常数。