《数学模型》姜启源第五版补充资料
二阶微分方程可用两个一阶微分方程表为
右端不显含 ,是自治方程.代数方程组
的实根 称为方程 的平衡点, 记作 .
如果存在某个邻域, 使方程 的解 从这个邻域内的某个 出发, 满足
则称平衡点 是稳定的 (渐近稳定) ; 否则, 称 是不稳定的 (不渐近稳定).
为了用直接法讨论方程 的平衡点的稳定性, 先看线性常系数方程
系数矩阵记作
. 为研究方程 的惟一平衡点 的稳定性, 假定 的行列式. 的稳定性由 的特征方程的根 (特征根) 决定. 特征方程改写成更加明晰的形式为:
将特征根记作 , 则
方程 的一般解具有形式 或 为任意常数. 按照稳定性的定义 式可知, 当 为负数或有负实部时, 是稳定平衡点; 而当 有一个为正数或有正实部时, 是不稳 定平衡点.在条件
下 不可能为 0 .微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型, 完全由特 征根 或相应的 取值决定. 表 1 简明地给出了这些结果, 表中最后一列 指按照定义 式得到的关于稳定性的结论.
由表 1 可以看出, 根据特征方程的系数 的正负很容易判断平衡点的稳 定性,准则如下: 若 则平衡点稳定; 若 则平衡点不稳定.以上是对线性方程 的平衡点 稳定性的结论. 对于一般的非线性 方程 , 可以用近似线性方法判断其平衡点 的稳定性. 在 点将 和 作 Taylor 展开, 只取一次项, 得 的近似线性方程
系数矩阵记作
特征方程系数为
显然, 点对于方程 的稳定性由表 1 或上述准则 决定, 而且已经证明 了如下结论:
若方程 的特征根不为 0 或实部不为 0 , 则 点对于方程 的稳定性与对于近似方程 的稳定性相同, 即由上述准则决定.
最后, 提出以下几点值得注意:
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