答：'my having grown up'是动名词的复合结构形式。imagine后接V-ing作宾语，故使用动名词的复合结构作宾语。
动名词的复合结构
I．动名词复合结构的构成
动名词的复合结构有四种形式：①形容词性物主代词＋动名词；②名词's＋动名词；③代词宾格＋动名词；④名词＋动名词。动名词的复合结构可在句中作主语或宾语。作主语时，不能用③、④两种形式；无生命名词不能用第②种形式，无论是作主语还是作宾语。动名词的复合结构，实际上是给动名词加了一个逻辑主语。如：
His／Jack's not getting to the station on time made all of us worried．他／杰克没准时到火车站使得我们大家都很担心。
Do you mind my／me／Jack's ／Jack leaving now ？
我／杰克现在离开你介意吗？
II．动名词复合结构的作用
动名词复合结构在句中主要作主语和宾语。
1．作主语
The students' knowing English well will help them to learn French．
学生学好了英语对学习法语有帮助。
2．作动词宾语
I remember Tom's going there．我记得汤姆去过那里。
I would appreciate your calling back this afternoon．
你今天下午能回电话的话，我将非常感谢。
3．作介词宾语
Mary insisted on my reading the letter．玛丽坚持要我看信。
在口语和非正式文体中，动名词复合结构作宾语时，常用人称代词宾格代替物主代词，用名词普通格代替所有格。例如：
I can hardly imagine Peter sailing across the Atlantic Ocean in five days．
我简直不敢想象彼得在五天内横渡大西洋。
They don't like me coming here．他们不喜欢我到这儿来。
注意：
1）若动名词的逻辑主语是无生命的“物”，而不是“人”时，最好用普通格。例如：
I was afraid of the tent falling down during the night．我怕夜里帐篷倒塌了。
2）若动名词的逻辑主语由较长的一组词构成时，最好用普通格。例如：
Do you remember John and his father coming to see us last Christmas？你还记得约翰和他的父亲去年圣诞节来看我们吗？
3）若动名词复合结构作主语时，则最好用所有格或物主代词。例如：
Tom's／His coming home late worries his mother．汤姆／他的晚归使他妈妈担心。
III．动名词复合结构的否定式、被动式和完成式
动名词复合结构的否定式仍然是在动名词前面加not等否定词；动名词与其逻辑主语之间构成被动关系时，动名词用被动式；动名词表示的动作发生在句子谓语动词动作之前时，动名词用完成式。例如：
Mary's not passing the exam made her mother very angry．
玛丽考试不及格使她妈妈非常生气。
She didn't mind her books being taken away and used by other students．
她并不介意她的书被别的学生拿去用。
I know nothing about his having gone to Beijing．我不知道他已经去了北京。
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