这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。
题 131. 《探究型·压轴题的新趋势》
[1]. 问题提出：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，E、F分别是对角线BD和AC上的点，∠ECF＝45°，探究线段AF和BE的数量关系并证明；
[2]. 尝试应用：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝3AD，连接AC，∠DAC＝45°，AC＝4，点E、F分别是边AB和对角线AC上的点，已知AE＝√10/2，tan∠EDF＝3，求CF的长度；
[3]. 拓展提升：如图3，在菱形ABCD中，BH⊥AD交DA延长线于点H，且tan∠BAH＝24/7，E、F分别是线段BH和对角线AC上的点，tan∠EDF＝3/4，设BE＝n·EH，若EH/BH＝CF/AF，则n＝（ ）。
〖一般性提点〗
[1]. “探究—应用—拓展”型是中考压轴题一个重要的趋势；
[2]. 此类几何题中的子题之间有着较为密切的联系，体现在：
<1>. 已知条件类似；
<2>. 解题核心方法类似；
[3]. 作为初中几何，最基本的问题是解三角形，或者求线段长度，或者求线段之比，在方法上可以分为两大类：
<1>. 解Rt三角形；
<2>. 寻找或构造相似三角形；
[4]. 本题求证相似核心方法：两个相等的角有公共的部分，那么去掉公共部分后，剩余的部分也相等。这是一个非常基本的公理法则：等量减等量，差相等。
〖题目分析〗
[1]. 探究线段之间的数量关系，本质上线段之比应是一个定值；探究的基本手段是相似原理。
考察AF和BE所在的△ACF和△BCE：
∵∠EDF＝∠ACB＝45°；
∴ ∠EDF－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，即：
∠ACF＝∠BCD；
又∠CAF＝∠CBE＝45°；
∴△ACF∽△BCE（AA），
对应边成比例：
AF/BE＝AC/BC＝√2；
[2].
作为应用的例子，题设已知条件和[1]类似：在[1]中，实际有tan∠ECF＝1；与这里的tan∠EDF＝3对应；
关键是要显化tan∠EDF＝3到底是什么意思。先基于其它已知条件，计算相关线段长度：
根据等腰梯形、∠DAC＝45°，以及BC＝3AD，作CG⊥AD，交AD延长线于G；则Rt△ACG是等腰直角三角形：
AG＝CG＝AC/√2＝2√2；
易知，AD＝DG＝AG/2＝√2；BC＝3AD＝3√2；
且AB＝CD＝√(CG＋DG)＝√10；
根据AE＝√10/2，可知E是AB中点：
BE＝AE＝√10/2；
根据CF所在△CDF，寻求构造与之相似的三角形：
连接BD，根据等腰梯形的性质和已知∠DAC＝45°，易知BD⊥AC。记交点为M，
因为tan∠DCG＝1/2；且∠DCG＋∠DCF＝45°；所以tan∠DCF＝1/3（12345模型）；
则在Rt△CDM中，可知tan∠CDM＝3，再由题设tan∠EDF＝3；可知∠EDF＝∠CDM；
两次运用“等量减等量，差相等”公理，可知：
∠CDF＝∠BDE；∠DCF＝∠DBE
∴△CDF∽△BDE（AA）
∴ CF/BE＝CD/BD
注意到BD＝AC＝4，BE＝√10/2，CD＝√10，解得
CF＝5/4；
[3].
连接BD，则BD⊥AC于点M（菱形对角线互相垂直平分）；
角度/线段分析
由tan∠BAH＝24/7，以及tan∠EDF＝3/4；
可令AH＝7/5；解Rt△ABH，得：
BH＝24/5； AB＝5；
在Rt△BDH中：
tan∠ADB＝BH/DH＝3/4；BD＝8（同理可得AC＝6）；
∴∠ADB＝∠EDF；
∴∠ADB－∠EDB＝∠EDF－∠EDB，即：
∠MDF＝∠HDE，
∴ Rt△FDM∽Rt△EDH
∴ ∠MFD＝∠HED
∴ ∠CFD＝∠BED； ①
又∠CDM＝∠ADB（菱形性质）＝∠EDF；
∴ ∠CDF＝∠BDE ②
由①、②，可知△CDF∽△BDE：
BE/CF＝BD/CD＝8/5 ③
记CF＝λ(＜AC)；则
BE＝(8/5)λ；
EH＝BH－BE＝24/5－(8/5)λ
题设 EH/CF＝BH/AF，即：
[24/5－(8/5)λ]/λ＝(24/5)/(6－λ)
整理得：
λ²－12λ＋18＝0；
解得：λ＝6－3√2（另一根＞AC，舍去）
n＝BE/EH
＝(8/5)λ/[24/5－(8/5)λ]
＝λ/(3－λ)
＝√2
联系客服
