各位小伙伴，相信在大家的实际工作中，有时会需要研究一些配方（或称为配比）的实验问题，比如经常出现这种问题的冶金、化工、医药、食品等行业。
例如，不锈钢是由铁、镍、铜和铬4种元素组成；闪光剂由镁、硝酸钠、硝酸锶及固定剂组成；复合燃料、复合塑料、混纺纤维、混凝土、粘接剂、药片、饲料等都是由多种成分按相应比率制作而成，等等。
* 图片来自于网络
这些产品都可以被统称为混料（Mixture），组成混料的各种成分可以被称为混料成分或分量，同时它们也是混料实验中的因子（Factor）。它们的比例关系对产品的最终质量特性起到了决定性的作用。
这时候，如果我们要用实验设计的方法进行分析的话，会发现两个与众不同的特征：
一是通常人们关心的是各种分量的比例而不是其绝对数值；
二是所有分量之间存在一种特殊的约束条件，即总和一定为1或其他常数。
这两个与众不同的特征使得此类实验设计的研究方法与此前我们讨论过的所有实验设计类型都有明显的区别，直接应用以往的实验设计方法显得颇为牵强，所得分析结果的可信度也将大打折扣。
那么，如何解决这个棘手的问题呢？
事实上，对于这种分量之和总是为一定常量的实验设计，我们常常会请一位精于此道DOE高手——混料设计（Mixture Design）来帮忙。
今天我们的DOE系列文章就来和大家具体聊聊混料设计的原理与应用。同样，混料设计的实施在JMP软件的支持帮助下，变得轻而易举。不信请看！
混料设计的原理
一般来说，混料设计中的混料成分至少有3种，它们之间的约束特征可以用图-1来形象地表示。
图-1 混料设计的约束图
也就是说，所有的实验点均落在一个特定三角形平面上，而不是以往的一个立方体内。
这个现象进一步地提示我们可以利用“三线坐标系”巧妙又直观地揭示混料设计中各分量的组成状况。其原理来源于平面几何中的有关知识：等边三角形内的任何一点到三条边的距离之和等于该三角形的高。
如果设三角形的高为1，则任何一点的坐标就可以用其到三个对边的距离来表示。当然，这三个坐标并不独立——三者之和恒等为1，这恰好与三因子混料设计中“共有3种混料成分，所有成分的比例之和总是为1”的条件相对应。
图-2 混料设计的三线坐标系示意图
图-2就是一张三线坐标系的示意图。当混料设计中的混料成分增至4种时，等边三角形将变成正四面体，增至5种以上时，就没有直观的图形了，但是我们可以以此类推，想象一个多维空间图形的存在。
如何选取实验点？
混料设计中最重要，也是最具特色的当属实验点的选取方法。
而JMP提供了最为丰富多样的选取方案，包括单纯形重心设计（Simplex Centroid）、单纯形格点设计（Simplex Lattice）、极端顶点设计（Extreme Vertices）、ABCD设计（ABCD Design）、空间填充设计(Space Filling)和独有的定制化最优设计(Optimal)，如图-3所示。
图-3 JMP支持的混料设计类型
在本文呢，我们就以最为典型的“单纯形格点设计”为代表，详细介绍如何选取实验点~
单纯形格点设计
单纯形格点设计的基本思想是：将全部格点集合内的每个点依次选中。
格点是由因子数和阶数两个参数给定，此格点集合记为{p, d}。
我们以三种混料成分（即三个因子）为栗子：
三因子
☑ 三因子一阶数的格点集合记作{3, 1}，就是3个顶点全体（图-4a）；
☑ 三因子二阶数的格点集合记作{3, 2}，就是将3条边各二等分，由3个顶点及3条边中点全体组成的集合（图-4b）；
☑ 三因子三阶数的格点集合记作{3, 3}，就是将3条边各三等分，过各分点画与另两边平行的直线，由平行线相交而形成的格点（共10个）组成的集合（图-4c）。
图-4 三因子各阶数的示意图
依此类推, 但通常阶数到3为止就足够了。{3, 3}格点的坐标如图-5所示。
图-5 三因子三阶数的单纯形格点设计计划表
关于混料设计其它众多的实验点设计类型，有兴趣的小伙伴可以查阅相关书籍或JMP的帮助手册来进一步开拓自己的视野和认知。这里我们还是通过一个工业案例来介绍混料设计的实际应用~
场景
在新型高强度合金冶炼工艺中，关键是添加剂的配比问题。假设添加剂总量占比恒定，而添加剂由A，B，C共计3种成分构成。我们来安排一个实验设计，寻求3种分量的配比使得断裂强度达到最大~
显然，这个问题非常适合用混料设计的方法来解决。
综合考虑实验成本等因素：
首先，采用上面介绍的“三因子三阶数的单纯形格点设计”来选择实验点；
然后，根据实验计划开展实验，完成实验并获得断裂强度的测量值后，将数据汇总录入，如图-6所示。
图-6 混料设计的实验结果汇总表
同时，我们也可以利用JMP提供的图形工具“三元图”来直观形象地呈现本次混料设计中的选点方案，如图-7所示。
本例混料设计所拟合的模型是形如：
的Scheffe二次正则多项式，模型中XiXj在X1+X2+X3=1的约束条件下也不再完全等同于以往的因子间交互作用定义，但其建模分析的过程和方法和之前系列文章介绍的类似，主要也是通过“标准最小二乘法”来实现。在JMP的帮助下，这部分工作依然轻松高效。
延续以往“强调通俗易懂，淡化统计原理”的一贯原则，在此依然借助JMP直观形象的可视化报表来说明分析结果。
在求出精确解之前，与之前介绍过的等高线图类似，我们可以先观察一下图-8所示的混料刻画器(Mixture Profiler)，从中可以清楚地看到，在该实验区域内确实存在一个最大值。
图-8 混料刻画器(Mixture Profiler)：
如定义响应规格限，还可勾勒出合规区域
我们也可以直接借助JMP独有的预测刻画器(Prediction Profiler)，如图-9所示:
图-9 预测刻画器(Prediction Profiler)
通过单击“最大化意愿”一键式得到添加剂最优化的成分配比：
当A%= 0.46，B%=0.39，C%=0.15时，断裂强度将会达到最大的147.25，并且这是一个在我们已进行的实验当中未曾达到的结果，后续我们可以在此基础上进行验证实验。
如果还没完全掌握方法，也不用担心，我们精心准备的5分钟小视频在此，跟着老师的步骤逐一操作学习吧！
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