奎因《逻辑方法》第六章

Chapter 6  Consistency andValidity

一致性和有效性

 

1. 模式和陈述的一致性和有效性

一个真值函项模式是一致的，当且仅当它在某些解释下的真值为真。一个真值函项模式是不一致的，当且仅当它在所有解释下的真值都为假。一个真值函项模式是有效的，当且仅当它在所有解释下的真值都为真。显然，一个模式的不一致性意味着它的否定模式的有效性，反之亦然。要注意的是，一个并不有效的模式可能是不一致的，也可能是一致的。一个陈述是真值函项不一致的，当且仅当该陈述可以视为某个不一致的模式的解释。一个陈述是真值函项有效的，当且仅当该陈述可以视为某个有效模式的解释。一个陈述是真值函项一致的，当且仅当该陈述不是不一致的。在许多文献中，真函有效的陈述被称为真函真陈述，真函不一致的陈述被称为真函假陈述。这两种陈述之外的陈述称为真函适真陈述。

 

我们可以使用真值分析法来判定一个模式的有效性和不一致性。当我们解析出一个“T”时，我们就可判定这个模式是一致的。当我们解析出一个“F”时，我们就可判定这个模式不是有效模式。当我们解析出两个不同的真值时，我们就可判定这个模式既不是有效的，也不是不一致的。结果有时在分析中途就出现了。这也是我们的真值分析法优于真值表方法的一个方面。

 

反过来，我们也可以利用一些明显的有效模式或不一致模式进一步加快真值分析。当我们碰到有效模式（不一致模式）时，可以不加具体分析，直接用T（F）代替它。

 

2. 替换概念的扩展

前面谈到的解释是用陈述或真值对模式中的字母进行替换。但模式中的字母也可以用模式进行（一律的）替换，这样得到的仍是模式。有效模式的替换模式仍是有效模式，不一致模式的替换模式仍是不一致模式。但除有效模式而外的一致模式的替换模式却不一定是一致模式。（见练习）

 

Exercises

1. Test each of these forvalidity by truth-value analysis, exploiting new shortcut regardingpatently valid and patently inconsistent clauses:

p→q·∨·q→p,    p∨qr∨·p1·q1∨r1,

p↔q·∨·p↔q1,   p↔q·∨·q↔r·∨·p↔r.

 

【答案】

p→q·∨·q→p

T→q·∨·q→T      F→q·∨·q→F

T                 T

是有效模式。

 

p∨qr∨·p1·q1∨r1

T∨qr∨·T1·q1∨r1         F∨qr∨·F1·q1∨r1

            T                    qr∨q1∨r1

                          Tr∨T1∨r1     Fr∨F1∨r1

                              r∨r1          T

 

是有效模式。

 

p↔q·∨·p↔q1

T↔q·∨·T↔q1      F↔q·∨·F↔q1

                q∨q1            q1∨q

                  T                T

是有效模式。

 

p↔q·∨·q↔r·∨·p↔r

T↔q·∨·q↔r·∨·T↔r    F↔q·∨·q↔r·∨·F↔r

 q∨·q↔r·∨r           q1∨·q↔r·∨r1

T∨·T↔r·∨r  F∨·F↔r·∨r  T1∨·T↔r·∨r1 F1∨·F↔r·∨r1

    T           r1∨r        r∨r1            T

                   T           T

是有效模式。

 

2. In each of the foursechmata above, substitute ‘p∨q’ for ‘p’. This is chiefly an exercise in adjusting dotsto preserve proper grouping.

【答案】

p→q·∨·q→p

(p∨q)→q·∨·q→(p∨q)

p∨q·→q:∨:q→·p∨q

 

p∨qr∨·p1·q1∨r1

(p∨q)∨qr∨·—(p∨q)·q1∨r1

p∨q∨qr∨·—(p∨q)·q1∨r1

 

p↔q·∨·p↔q1

(p∨q)↔q·∨·(p∨q)↔q1

p∨q·↔q:∨:p∨q·↔q1

 

p↔q·∨·q↔r·∨·p↔r

(p∨q)↔q·∨·q↔r·∨·(p∨q)↔r

p∨q·↔q:∨:q↔r:∨:p∨q·↔r

 

3. “If a schema isconsistent but not valid, then by one set of substitutions we canget a valid schema from it, and by another set of substitutions aninconsistent schema.” Is this true? Justify your answer.

【答案】

正确。我们先举例说明。“p∨q”是一个一致但不有效的模式。但我们只需将“p”和“q”分别以“q1”和“q”替换，就可得到有效模式“q1∨q”。而如果我们将“p”和“q”都以“pp1”替换，就可得到不一致的模式“pp1∨pp1”。

更一般的论证如下：既然该模式是一致但不有效的模式，因此，必定存在着使该模式为真的解释，也存在着使该模式为假的解释。让我们选定一个使该模式为真的解释，然后分别用有效模式和不一致模式替换在这个解释下被赋予真和假的字母。经过这样替换所得的模式在任何情况下都将取得真值真，从而是一个有效模式。同样地，让我们也选定一个使原模式为假的解释，然后分别用有效模式和不一致模式替换在这个解释下被赋予真和假的字母。经过这样替换所得的模式在任何情况下都将取得真值假，从而是一个不一致模式。还以“p∨q”为例。这个模式在“p”真“q”假的情况下取得真值，我们可以分别用“p∨p1”和“pp1”替换“p”和“q”，得到的模式“p∨p1 ∨p p1”就是一个有效模式，因为不论对其中的“p”如何解释，都改变不了“p∨p1 ”真和“p∨p1 ∨p p1”假的事实。而上面的不一致模式“pp1∨pp1”正是按照这里所说的理念所设计的。

 

4. By negating a consistent schema can you get avalid one? a consistent one? an inconsistent one? illustrate youraffirmative answers.

【答案】一致的模式在某些解释下为真，因此它的否定在同样的解释下为假，因此，一致的模式的否定不是有效模式。

有两种一致的模式，一种是只在某些解释而不是在所有解释下都为真的模式，这种模式的否定显然也是一致的模式，而且也是那种只在某些解释而不是所有解释下都为真的模式。另一种是在所有解释下都为真的模式，即有效模式，它的否定是不一致的模式。