今天我们来讨论一个有趣的问题。
求值：√{6+√[6+√(6+…)]}=?
要想求出这个无限根号表达式的值，我们首先需要知道这个式子的含义。
式子里面的省略号代表有无限个根号下6加根号下6，我们可以把这个式子看成一个数列的极限值。
√6，√(6+√6)，√[6+√(6+√6)]…
这个数列的通项
an=√{6+√[6+√(…+√6)]}
【n个根号】
√{6+√[6+√(6+…)]}=lim(an)
=lim√{6+√[6+√(…+√6)]}，n→∞
搞清楚了这个式子的含义，接下来还不能着急去求值，我们必须要先证明这个数列的极限是存在的，也就是收敛的。
我们应该如何去证明一个数列是收敛的呢？
这就需要利用到一个非常重要的定理：单调有界定理。
单调有界定理：如果一个数列是单调并且有界的，那么这个数列必存在极限。
一、有界性
对于数列{an}
若an≤M，则{an}有上界；
若an≥M，则{an}有下界；
若∣an∣≤M，则{an}有界；
求证：an=√{6+√[6+√(…+√6)]}
【n个根号】，{an}有上界
证明：an=√{6+√[6+√(…+√6)]}
【n个根号】
a(n+1)=√{6+√[6+√(…+√6)]}
【(n+1)个根号】
a(n+1)=√(6+an)
a1=√6＜√9=3
a2=√(6+a1)＜√(6+3)=√9=3
a3=√(6+a2)＜√(6+3)=√9=3
…………
以此类推，容易证明
an＜3
严格证明可采用数学归纳法，这里略去不讲，留给大家自行推导。
所以，{an}有上界为3，证毕！
二、单调性
对于数列{an}
若a(n+1)≥an，则{an}单调递增；
若a(n+1)≤an，则{an}单调递减；
求证：an=√{6+√[6+√(…+√6)]}
【n个根号】，单调递增
证明：前面已证
a(n+1)=√(6+an)
a(n+1)-an=√(6+an)-an
=[(6+an)-(an)^2]/[√(6+an)+an]
=-(an+2)(an-3)/[√(6+an)+an]
很显然
an=√{6+√[6+√(…+√6)]}＞0
an＞0
前面已证
an＜3
an+2＞0，an-3＜0
-(an+2)(an-3)＞0
√(6+an)+an＞0
a(n+1)-an
=-(an+2)(an-3)/[√(6+an)+an]＞0
a(n+1)-an＞0
a(n+1)＞an
所以，{an}单调递增，证毕！
综上，数列{an}有单调递增有上界为3。
根据单调有界定理：
数列{an}必存在极限，且极限小于等于3。
到这里，我们终于证得此极限存在，接下来我们来求出这个极限。
求值：√{6+√[6+√(6+…)]}=?
解：设a=√{6+√[6+√(6+…)]}
前面已证
0＜a≤3
a^2=6+√[6+√(6+…)]=6+a
a^2-a-6=0
a=3或a=-2
0＜a≤3
a=-2＜0，舍掉
a=3，成立
√{6+√[6+√(6+…)]}=3
总结一下：
①对于无限次运算的表达式，首先视为一个数列的极限值；
②分别证明这个数列的单调性和有界性；
③根据单调有界定理证明这个极限的存在性；
④求出这个极限值。
最后，给大家留一个思考题。
求值：√2^√2^√2^√2^…=？
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