很多人，包括很多搞数学的人，都说数学的基础是公理。平面几何的基础是欧几里德的公理，定义自然数的是皮亚诺的五条公理，而现代数学的基础则是策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理，起码很多人是这样说的。
但这种说法对么？
打个比方，要建一幢大楼，先要由设计师绘画这幢大楼的设计图，注明每一根柱子每一个窗户的大小位置和材料，然后由建筑工人一梁一柱慢慢建立起来，最后由装修工人完成装修。当大楼建好之后，我们能说大楼的基础就是设计图吗？
对，也不对。的确，没有设计图建不起大楼，但要建一座教学楼，很多设计图其实都能用。设计图告诉我们楼应该怎么建，但我们是根据要建什么楼来选择设计图，而不是随便抓一张设计图，就说我们需要的就是这幢楼。
数学也是如此。
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我们建立公理体系，不是因为某个公理天然就是对的，而是因为我们需要用公理去刻画某些东西。我们要研究自然数，我们觉得自然数应该拥有某些性质，所以我们将这些性质以逻辑的语言化为一个个命题，从中抽取那些我们认为刻画了最本质特点的那些命题，将它们作为公理。
先有我们要研究的东西，再有公理。而不是先有公理，再研究它的延伸。没有天然正确的公理，只有适合研究某个东西的公理。毕竟，我们研究数学，是研究抽象结构之间的关系，这些结构很多都从实际生活中抽象而来，或者是因应数学研究的需要而发展出来。我们研究的是这些结构本身，而公理只是我们刻画这些结构的一种手段。如果反过来，认为公理才是对的，这反而是倒果为因，被单一的系统蒙蔽了双眼。
是的，数学可以有很多种。公理只是我们刻画数学结构的方法，理解了这一点之后，你看到的数学世界会变得更宽广。不同的公理体系可以存在，只是它们刻画的东西不一定相同。同一个东西，可以用不同的公理体系来刻画。要推广某个数学概念，只要稍稍放松刻画它的公理体系，就可以了。公理体系并不是什么不可动摇的基础，而是我们编织数学诗篇时写下的提纲，根据这个提纲，故事会根据逻辑自行发展，最终通过人的逻辑思维，导出公理体系指向的图景。
公理体系并非不可动摇，所以我们当然可以选择采用什么公理体系。对于数学家来说，只要公理体系足以刻画他们研究的数学对象，那就足够了，采用哪一个其实无所谓。我们说平面几何就是欧几里德的公理，其实把一些公理换成等价的命题也未尝不可，只是因为我们习惯了欧几里德的提法。我们说定义自然数的是皮亚诺公理，同样因为是皮亚诺第一个正确用公理刻画了自然数，那就这样用了。至于现代数学的基础为什么选取了策梅洛-弗兰克公理体系加上选择公理，纯粹是因为这套公理足以让大部分数学家能完成他们的工作，能在这套公理内表达他们研究的数学，所以就这样了。
这就是数学研究的运作方式。选择公理的历史很好地说明了这一点。一开始，巴拿赫和塔斯基证明了，如果承认选择公理的话，就可以将一个球切成几块非常奇怪的形状（实际上是一堆很勉强才说得上连起来的点），然后重新拼合，得到两个跟原来一模一样的球。这又叫巴拿赫-塔斯基分球定理。但后来人们发现，如果不承认选择公理，得到的结论会更奇怪，比如一个空间可以有两个维度之类的，而且有很多之前的数学，不承认选择公理的话根本表达不出来。所以人们还是接受了选择公理。至于分球定理，实际上因为切成的形状太奇怪，根本不能定义它的容积，所以现代数学家并不认为这是什么大问题。
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你可能会觉得，选择公理既然引起过这么大的争议，它一定是个很复杂很麻烦的公理吧？但其实它非常简单，无非就是说，一堆非空集合，必定可以各自选出一个凑在一起，组成一个集合。仅此而已。但即使是这样“明显”的公理，数学家也要争论一番，正是因为他们一开始不清楚，自己所做的数学是否被这个公理刻画。
再说现代数学的基础。实际上除了策梅洛-弗兰克公理体系之外，还有几个不同的公理体系，它们定义的东西有着确实的差异。但对于大部分数学家来说，他们研究的数学无论建基在哪个公理体系上都可以，所以很多数学家并不关心逻辑根基到底是什么，他们只需要知道有一个稳固的根基，那就可以了。
荃者所以在鱼，得鱼而忘荃；蹄者所以在兔，得兔而忘蹄；言者所以在意，得意而忘言。
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