样本和总体的概念

本文对抽样分布的概念、无偏差和最小偏差等性质，以及中心极限定理和样本比例的抽样分布进行总结。

1 抽样分布基本概念

参数（parameter）：参数是对总体的数值描述，因为是总体，所以值经常是未知的。

样本统计量（sample statistics）：样本的数值描述，利用样本计算而来。

常见的参数和样本统计量如下表所示。

总体参数样本统计量

均值μμx¯x¯

中位数ηηmm

方差σ2σ2s2s2

标注差σσss

二项比率ppp^p^

抽样分布(sampling distribution):统计量的概率分布，根据n个测量值的样本计算得到。

2 抽样分布的性质

性质一：无偏性

无偏估计（unbisaed estimate)：样本统计量的抽样分布均值和要估计的总体参数相等，就认为这个统计量是参数的无偏估计。

有偏估计（biased estimate）：抽样分布的均值和要顾及的参数不相等，就认为这个统计量是参数的有偏估计。

性质二：最小方差

如果两组统计量的抽样分部都无偏，我们更加倾向选择标注差最小的，抽样分部的标准差也被成为统计量的标准误（standard error of the statistic）。

3 样本均值的抽样分布和中心极限定理

3.1 x¯x¯的抽样分部的性质：

x¯x¯的抽样分布的性质：

1.抽样分部的均值等于抽样总体的均值，即μx¯=E(x¯)=μμx¯=E(x¯)=μ。

2.抽样分部的标准差等于：

抽样总体的标注差样本量的平方根，即σx¯=σn√抽样总体的标注差样本量的平方根，即σx¯=σn。（标准差σx¯σx¯一般被称为均值的标准误（standard error of the mean）。

3.正态分布的抽样分布：如果从一个服从正态分布的总体中选取一个有n个观测值的随机样本，那么x¯x¯的抽样分布也是一个正态分布。

3.2 中心极限定理

从一个均值为 μμ 、标准差为σσ的总体中选取一个有nn个观测值的随机样本。那么当nn足够大时，x¯x¯的抽样分布将近似服从均值μx¯=μμx¯=μ 、标准差σx¯=σ/n−−√σx¯=σ/n的正态分布。并且样本量越大，对x¯x¯ 的抽样分布的正太近似越好。

4 样本比例的抽样分布

和样本均值是总体均值的良好估计一样，样本比例（记为p^p^），是总体比例pp的良好估计。和样本均值的抽样分布有着类似的性质。

p^p^的抽样分布性质：

1. 抽样分布的均值等于二项比例pp，也就是E(p^)=pE(p^)=p。因此，p^是pp^是p的无偏估计。

2. 抽样分布的标准差等于p(1−p)/n−−−−−−−−−√p(1−p)/n，即σp^=p(1−p)/n−−−−−−−−−√σp^=p(1−p)/n。

对于大样本，抽样分布近似于正太。