初中数学：有理数的计算

灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。而凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

例1、求

的值。

分析1：根据题目特点，可以凑整求和，再把和相加。

解：原式=

分析2：根据题目特点，把算式倒写，然后把两个算式相加，也可以凑整求出。

解：设S=

，

则

，

所以

所以

。

这种方法实质上就是常说的利用梯形的面积公式求和法，即：

原式=

说明：连续数求和，都可利用梯形面积公式

（上底+下底）

高。上底是指最小的数，即首项，下底是指最大的数，即末项，高是指数的个数，即项数。上例中，上底是1，下底是59，共有59个数相加，所以高是59，上面的公式还可以写成

（首项+末项）

项数，而解决此类问题的关键是找准项数，可采用公式：

项数

例如：在求

的值时，首项是1，末项是25，项差是3，所以项数是

，因此，原式

。

 

例2、求和

。

分析：考虑到拆项

，

，

，…，

，然后相加，正负相消，只剩首末两项，

，问题得解。

解：原式=

。

说明：一些分数求和题可借助公式：

（k为正整数），对题目各项进行拆项，利用相反数的意义进行计算，最后使问题简单化。

例如，求和

中，k是2。

原式=

。

 

例3、求和

。

分析：考虑到所有加数都是以2为底的幂，显然不能求出各自的幂再相加，考虑到相邻两项的比都是2（即后：前=2），可以重新构造一个新方程，在

①的两边都乘以共同的比2得：

，②

然后用②-①得：

。

解：因为

，①

所以 

，

即：

②

②-①是：

，

即

，

所以

=

。

说明：同底数幂求和时，常考虑构造方程求解。即设原式=S，然后两边都乘以相邻两项的比k（后：前=k），再把两等式相加或相减，消去相同的项，从而求出S。

 

例4、求

的值。

分析：整个题目是几个或多个数的积，而这些因数都是两项的和，且后一个因数中的两项都是前一个因数中的两项的平方，这样整个题目就成了一些平方和的积，如果按乘法公式展开，工作量相当大，也不是本题目考查的目的，本题目必然有技巧，考虑到我们学习过的平方差公式，特点与题目中的平方和很相似，这样在首项前再多乘以一个两项的差

，与首项

相乘得

，

再与第二项凑成平方差公式，…，最后得结果

，然后再除以最初乘的因数

，得结果。

解：设

=S，则：

，

即：

，

……

，

两边都除以

，得

。

说明：平方差公式

可以简化乘法运算，要注意灵活运用，此类题目为凑平方差公式而乘的两数之差不一定都是1，一定要注意最后再除以这个差，避免把原数放大或缩小。

 

例5、求

的值。

解析：这个题目的特点很明显，前一个分数的分母与后一个相邻分数的分子相同，相乘可以约分，最后只剩下第一个分数的分子和最后一个分数的分母，问题得解。

原式=

。

说明：一些分数相乘题，常常利用分解约分的方法，使问题化简。