卷积是什么？

1、从英文单词开始认识卷积

卷积的英文单词是convolution，与之有相同词根的单词有revolution和evolution。evolution表示进化、演变，前面加个“r”即revolution表示改革、大变革，那么convolution有前缀“con-”表示一起、共同，也就是共同前进的意思。convolution除了有卷积的意思，还表示晦涩难懂、线圈盘绕、大脑表面的褶皱等。

2、卷积的本质

卷积是什么？通俗讲，就是两个函数的卷积结果是一个积分表达式。wikipedia对卷积的定义很清晰：

In mathematics and, in particular,functional analysis, convolution is a mathematical operation on two functions fand g, producing a third function that is typically viewed as a modified version of one of the original functions, giving the integral of the pointwise multiplication of the two functions as a function of the amount that one of the original functions is translated.

用公式表达就是下面的式子：

（公式一）

其中“*”星号star表示卷积。另外，f*g(x)可以写在等号左边。也可以用[f*g](t)表示函数f与函数g的卷积。

我们发现公式一中，两个函数的参数之和为固定值，即t+(x-t)=x。也就是说，参数t是哑指标。

卷积是一种操作，本质是把两个函数都卷积成一个函数。

举例：一边吃东西一边消化。进食函数为f(t)，消化函数为g(t)，作图如下。求肚子里剩余的食物量。

以进食函数、消化函数说明卷积的含义

求肚子里t时刻食物的剩余量，其实是求ti时刻进食函数与t-ti时间内消化函数乘积求和的结果。实质上，求和就是求积分。

卷积就是这么简单，任意时刻的值都和两个函数相关，并且参数之和为固定值。

卷积的性质

1、线性性

函数f、函数g1、函数g2，如果f*(αg1+βg2)=αf*g1+βf*g2成立，说明卷积具有线性性。因为卷积是积分表达式，积分具有线性性，所以卷积也具有线性性。

2、交换律

如果f*g=g*f成立，则卷积具有交换性质。因为卷积是积分表达式，所以将等号两边写出积分表达式。

内心OS：我不想写~不想写~我不想证~不想证~好的，请看下图证明过程。

证明卷积具有交换性质

采用变量替换的方法证明其交换律性质，即令x-t=t'。其中推导过程中，将x看成常数，所以dt求导的结果是-dt'。因为对t求导的积分上下限是-∞~+∞，而t'的积分上下限为+∞至-∞，再将负号提入积分号内，就还原成右边表达式的积分上下限了。交换律成立~

3、结合律

如果(f*g)*k=f*(g*k)成立，则说明卷积具有结合律。同样用变量替换的方法证明，并先将等号左右两边的积分表达式写出来。

证明卷积结合律的推导过程

等式右边的变量替换也是参考等式左边，目的是为了左右看起来一致。另外，哑指标被积分积掉。

这样不断变量替换会稍微有点绕，不如理解记忆更实用。卷积的结合律性质如何理解呢？以树木落叶为例。

以树木落叶理解卷积结合律

f表示种树函数，g表示落叶生成函数，k表示落叶腐化函数。f先卷积g，表示种树导致落叶量的结果。g先卷积k，表示落叶掉在地上腐化的程度。但是，无论是(f*g)*k还是f*(g*k)，最终的结果都是求落叶掉在地上最终沉淀的量。

总结

最后再总结一下，卷积是一种操作，本质是把两个函数卷积成一个积分表达式。需要注意的是，函数f*g中x为变量，而积分表达式中f(t)g(x-t)dt，是对哑指标t求导，从而参数t被积分掉，积分上下限是-∞~+∞。

另外，卷积具有线性性、交换律和结合律。其中结合律可参照树木落叶的例子理解。

感觉自己棒棒哒~~(｡≧3≦)ﾉ⌒☆~P.S：墨迹公式好难用

跟我双手一起画彩虹~

阿哲语录：

1、卷积convolution共同前进，卷积是一种操作，把两个函数都卷积成一个函数。

2、把求和∑华丽的写成积分∫，毫无愧疚感。

3、卷积是求和，求和就是求积分，求积分就有线性性，写的比谁都快，想都不要想。

4、莎士比亚说，玫瑰如果不叫玫瑰，它的香气依然存在。

5、一边说话一边写字，CPU过载。

参考课程及文章：

1、《傅立叶变换、拉普拉斯变换与小波变换》，万门大学，童哲。

2、

http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

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