摘要（略）
0.引言
记D(N)为不大于自然数N的素数的最大相继素数差，根据 Landau 猜测，对于充分大的N，在N～N+N1/2 之间至少有一个素数。
Cramér猜测，对于充分大的N，D(N)满足以下关系：
D(N)＜ln2N.
在 Riemann猜想成立的前提下，Cramér 还认为
D(N)＜N1/2lnN.
是这个领域内的最好结果。
到 2001年为止，Baker、Harmen 和 Pints 共同证明：
D(N)＜N0.525.[1] (1)
根据素数定理，可知表不大于 N 的素数个数的一个公式如下
π(N)～N/lnN(N→∞).[2] (2)
这个公式表明π(N)随着N的增大而增加。然而π(N)的增加与N的增大并不成正比。为什么会这样？对此合理的解释是：随着N的增加，后面素数的相继素数差在增大，D(N)也会增大。正是这种情况导致了π(N)与N不成正比，因此D(N)与π(N)之间一定存在某种联系。
通过建立起D(N)与π(N)之间的函数关系，能够证明 Cramér的猜测成立，而证明过程所依赖的数学工具仅仅是素数定理和一般的极限方法。
1. D(N)与π(N)之间的关系
记 [x] 为 x的整数部分。
定义 相继素数差(简称素数差)dn为：dn＝pn+1－pn(下标 n 表示该素数为第n 个素数).
定义 V(N)＝N/π(N)。由式(2)可得
V(N)～lnN(N→∞). (3)
定义 M(N,A)为不大于 N的素数中素数差不大于A×V(N)的素数个数，其中A为大于1的整数。
定理 1. M(N,A)=π(N) 与A≥D(N)/V(N) 互为充要条件。
证. 由于不大于N的素数总数为 π(N)，因此有
M(N,A)≤π(N). (4)
显然，当A≥D(N)/V(N) 即 A×V(N)≥D(N)时，不大于N的素数中素数差不大于A×V(N)的素数个数就是全部不大于N的素数个数，即
M(N,A)＝π(N)(A≥D(N)/V(N)). (5)
反之，如果M(N,A)=π(N)成立，根据定义，若素数差不大于A×V(N)的素数是不大于 N 的全体素数，那么由于这些素数的素数差肯定不大于D(N)，所以此时的 A×V(N) 不会小于D(N)，因此有
A≥D(N)/V(N) (M(N,A)=π(N)).
由此可知 M(N,A)=π(N) 与 A≥D(N)/V(N) 互为充要条件。
若A＜D(N)/V(N)，则有
M(N,A)＜π(N)(A＜D(N)/V(N)). (6)
定理2. M(N,A)＞(1-1/A)π(N). (7)
证. (略)
2. D(N)的上界
根据式(7)，可得到 M(N,A)与π(N)的比值为
M(N,A)/π(N)＞1-1/A. (8)
从上式可以看到：(a)当A确定之后，1-1/A为一定值，无论N多大，不大于N且素数差不大于A×V(N)的素数数量在所有不大于N的素数中所占比例总是大于这一定值；(b)如果A为N的递增且发散的函数A(N)(例如当k≥1、e＞0 时，A(N)=[(lnlnN)e] 或者A(N)=[(lnN)e])，则不论该函数递增且发散的“速率”多低，其极限皆为
limN→∞{1-1/A(N)}＝1. (9)
联系到式(8)，这个结果表明，存在与A(N) 有关的正数 NA(N)，当N大于NA(N)时，使得M(N,A(N))/π(N)=1。根据定理 1，当 M(N,A(N))=π(N) 时，必然有A(N)×V(N)≥D(N)，由此可知，对于所有的 N＞NA(N)，可得到下式：
D(N)≤V(N)×A(N). (10)
由式(3)可知V(N)＜2lnN (N→∞)，据此上式可写为
D(N)＜2lnN×A(N) (N→∞).
令A(N)=[0.5(lnlnN)e]，代入上式则有
D(N)＜lnN(lnlnN)e(N→∞、e＞0). (11)
根据上式选择合适的 e，即可以确定合理的D(N)的上界。数据统计显示，N为有限值时，D(N)总是小于(lnN)2 和 lnN(lnlnN)2.5。
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