摘要(略)
0.引言
记D(N)为不大于自然数N的素数的最大相继素数差,根据 Landau 猜测,对于充分大的N,在N~N+N1/2 之间至少有一个素数。
Cramér猜测,对于充分大的N,D(N)满足以下关系:
D(N)<ln2N.
在 Riemann猜想成立的前提下,Cramér 还认为
D(N)<N1/2lnN.
是这个领域内的最好结果。
到 2001年为止,Baker、Harmen 和 Pints 共同证明:
D(N)<N0.525.[1] (1)
根据素数定理,可知表不大于 N 的素数个数的一个公式如下
π(N)~N/lnN(N→∞).[2] (2)
这个公式表明π(N)随着N的增大而增加。然而π(N)的增加与N的增大并不成正比。为什么会这样?对此合理的解释是:随着N的增加,后面素数的相继素数差在增大,D(N)也会增大。正是这种情况导致了π(N)与N不成正比,因此D(N)与π(N)之间一定存在某种联系。
通过建立起D(N)与π(N)之间的函数关系,能够证明 Cramér的猜测成立,而证明过程所依赖的数学工具仅仅是素数定理和一般的极限方法。
1. D(N)与π(N)之间的关系
记 [x] 为 x的整数部分。
定义 相继素数差(简称素数差)dn为:dn=pn+1-pn(下标 n 表示该素数为第n 个素数).
定义 V(N)=N/π(N)。由式(2)可得
V(N)~lnN(N→∞). (3)
定义 M(N,A)为不大于 N的素数中素数差不大于A×V(N)的素数个数,其中A为大于1的整数。
定理 1. M(N,A)=π(N) 与A≥D(N)/V(N) 互为充要条件。
证. 由于不大于N的素数总数为 π(N),因此有
M(N,A)≤π(N). (4)
显然,当A≥D(N)/V(N) 即 A×V(N)≥D(N)时,不大于N的素数中素数差不大于A×V(N)的素数个数就是全部不大于N的素数个数,即
M(N,A)=π(N)(A≥D(N)/V(N)). (5)
反之,如果M(N,A)=π(N)成立,根据定义,若素数差不大于A×V(N)的素数是不大于 N 的全体素数,那么由于这些素数的素数差肯定不大于D(N),所以此时的 A×V(N) 不会小于D(N),因此有
A≥D(N)/V(N) (M(N,A)=π(N)).
由此可知 M(N,A)=π(N) 与 A≥D(N)/V(N) 互为充要条件。
若A<D(N)/V(N),则有
M(N,A)<π(N)(A<D(N)/V(N)). (6)
定理2. M(N,A)>(1-1/A)π(N). (7)
证. (略)
2. D(N)的上界
根据式(7),可得到 M(N,A)与π(N)的比值为
M(N,A)/π(N)>1-1/A. (8)
从上式可以看到:(a)当A确定之后,1-1/A为一定值,无论N多大,不大于N且素数差不大于A×V(N)的素数数量在所有不大于N的素数中所占比例总是大于这一定值;(b)如果A为N的递增且发散的函数A(N)(例如当k≥1、e>0 时,A(N)=[(lnlnN)e] 或者A(N)=[(lnN)e]),则不论该函数递增且发散的“速率”多低,其极限皆为
limN→∞{1-1/A(N)}=1. (9)
联系到式(8),这个结果表明,存在与A(N) 有关的正数 NA(N),当N大于NA(N)时,使得M(N,A(N))/π(N)=1。根据定理 1,当 M(N,A(N))=π(N) 时,必然有A(N)×V(N)≥D(N),由此可知,对于所有的 N>NA(N),可得到下式:
D(N)≤V(N)×A(N). (10)
由式(3)可知V(N)<2lnN (N→∞),据此上式可写为
D(N)<2lnN×A(N) (N→∞).
令A(N)=[0.5(lnlnN)e],代入上式则有
D(N)<lnN(lnlnN)e(N→∞、e>0). (11)
根据上式选择合适的 e,即可以确定合理的D(N)的上界。数据统计显示,N为有限值时,D(N)总是小于(lnN)2 和 lnN(lnlnN)2.5。
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