现在我们经常说一个词叫“反直觉”。如果一个科学理论和我们的直觉正好相反,这个理论就能让我们的大脑感到兴奋。比如量子力学和相对论就非常反直觉。我们特别喜欢意料之外又在情理之中的东西。
但是听多了反直觉的理论,你的口味会提高,你会觉得不反直觉的学说没意思。你甚至可能形成一个直觉:那就是直觉都是错的。
但这个直觉恰恰说明,直觉不可能都是错的。“我有一个直觉:直觉都是错的”,这句话是个逻辑悖论!
我们继续说尤金伲亚·程的《不讲逻辑的世界里的逻辑艺术》这本书。这一讲我们来说说逻辑和直觉的关系。理解这个关系,我们能够更加深入地理解逻辑到底是怎么回事儿。我们就从悖论开始讲起。
1.芝诺的悖论
所谓悖论,就是这么一种说法,你从一方面看它是对的,可是从另一方面看它又是错的,以至于你无法判断它到底是对是错。很多悖论之所以是悖论,并不是我们的直觉有问题,而是逻辑有问题。
咱们先说一个著名的悖论,芝诺悖论。芝诺是2400多年前的古希腊哲学家,他提出过好几个逻辑悖论,我们这里专门说其中一个。希腊勇士阿基里斯和乌龟赛跑,乌龟先出发,乌龟跑出去一段距离之后,阿基里斯再去追。阿基里斯的速度比乌龟快,那么从直觉上来讲,我们知道阿基里斯一定能追上乌龟。
但是芝诺讲了一番逻辑。我们假设阿基里斯起跑的时候,乌龟已经走到了A点。那么等阿基里斯跑到A点的时候,乌龟肯定又往前走了一段距离,到达了B点。再下一刻,等到阿基里斯跑到B点时候,乌龟又到了C点,以此类推。阿基里斯每次走到乌龟曾经到达的地方的时候,乌龟都往前走了一段距离……那这样说的话,阿基里斯应该永远都追不上乌龟!
对此你很难反驳。事实上,直到两千多年以后,数学家有了极限的概念,我们才把这个悖论想明白。芝诺考虑的相当于是把无穷多个依次变小、乃至于趋近于无穷小的时间段相加,他以为这个相加的结果应该是无穷大,但事实上结果是有限的。就如同
并不是等于无穷大,而是等于1。
在这个问题上人的直觉没错,阿基里斯的确能追上乌龟,是芝诺的逻辑有问题。如果有哪个哲学家非得说芝诺说得对,完全无视事实,那是绝对不行的。
2.罗素悖论与美国宪法
下面这个悖论我敢打赌你听说过,是哲学家罗素发明的,叫罗素悖论。但是你不一定知道它的解法。
村里有一位理发师,他立下了一个规矩:他一定要给、而且只给,村里那些不给自己理发的人理发 —— 那么请问,这位理发师要不要给自己理发呢?
这个问题你怎么回答都不对。如果理发师不给自己理发,那他就是一个不给自己理发的人,根据规矩他应该给他理发;可如果他给自己理发,根据规矩他就不应该给自己理发。
直觉上,此题无解。但在逻辑上,你可以改进逻辑。罗素创造这个悖论不是为了证明逻辑不行,而是为了说明“集合论”的问题。我们知道,所谓集合,就是一些东西的聚集。用集合的语言,理发师悖论可以这么表述 —
我们定义集合S,是所有不是自身子集的集合的集合 —— 那么请问,集合S到底是不是S的子集呢?
如果S是S的子集,那它就是自身的子集,根据定义它不应该是S的子集;如果S不是S的子集,它又应该是S的子集。这里听起来有点绕,但是你体会一下,这其实就是理发师悖论。它们都具有“自己包含自己”的特点。
要想解决这个悖论,我们必须重新考虑集合的定义,我们必须把“集合”和“集合的集合”给区分开才行。更合理的集合定义必须分成下面这些层 ——
第一层,是一堆东西的聚集,称为“集合”。这里所谓的“东西”,都不是“集合”。
第二层,是集合的聚集,称为“大集合”。也就是说,“大集合”是通常说的“集合的集合”。
第三层,是大集合的聚集,称为“超大集合”……
以此类推。然后我们规定,说集合的论断,必须明确说的是哪一层 —— 那么S和S的子集就是在不同的层,所以S不会是S的子集。同样道理,理发师和他理发的那些人不在同一个层,所以他不会给自己理发。这样定义,就什么都能说清楚了。
这是用逻辑修正直觉。
可是这有啥用呢?有用。我们日常中就会犯这个错误。比如说,有个人宣称自己是宽容派,说我思想非常开放,我对一切想法都是宽容的。他这个宣言符合直觉,但是不合逻辑。
如果现在有个人,他是“不宽容派”,他的想法就是要禁止言论自由,让想法都规范化 —— 那请问,第一个人是不是也要对第二个人宽容呢?
这其实就是罗素悖论。要想避免悖论,我们必须设定,“想法”和“关于想法的想法”是不同层的东西,你一个论断只能谈论一个层。“对想法宽容”也好,“对想法禁止”也好,那都属于“关于想法的想法”,跟最初的“想法”不是一个层面。你的宽容,只能针对第一层想法。
这就使我想起来一个典故。当年哥德尔在普林斯顿,要加入美国国籍,入籍宣誓那天是爱因斯坦陪他去的。移民官让哥德尔谈谈对美国宪法的看法,哥德尔就当场指出美国宪法有个逻辑问题,会导致独裁者夺权。哥德尔正待要发表长篇大论,旁边爱因斯坦赶紧把他拦住了,说咱就是来办个例行公事的手续,你别刺激移民官。移民官没跟他计较,哥德尔顺利入籍。
哥德尔当时到底是怎么论证的现在不可考 [1] ,但是我们猜测,他说的可能是罗素悖论:美国宪法保护公民自由,那如果一个公民要限制别人的自由,难道宪法也保护他的这个自由吗?
3.知道和感到
从这两个悖论你能看出来,在逻辑上想明白一个问题,和从直觉上理解一个问题,是两码事。逻辑可以帮助直觉,直觉有时候也能帮助逻辑。逻辑和直觉不是互相排斥的。
有时候仅仅在逻辑上“知道”还不够,你还需要在直觉上“感到”。
一个你熟悉的人,昨天还跟你有说有笑,活蹦乱跳,今天你突然得知他去世了。你在逻辑上相信他真的去世了,但从感情上来说,你可能无法接受。你感觉不到他不在了。这个情境跟学数学其实有相似之处。
尤金伲亚·程说,其实每一个数学公式都是反直觉的,知道不等于感到。
比如说加法的交换律。10+1=1+10,非常简单,可是尤金伲亚·程亲自教过幼儿园小孩,她发现对小孩来说这个公式一点都不显然。算10+1,他们从10开始多数一个,立即就算出来是11;算1+10,他们会从1开始再数10个……
哪怕你知道、并且会背一个数学公式,但如果你不能“感到”它,你用起来就不能得心应手 —— 你必须把它*内化*成感觉才行。
所以学数学千万不能靠死记硬背。什么背题型、背公式,在数学高手看来是非常荒唐的学法。数学恰恰是不需要背的,像三角函数的那些公式,你要死记硬背就很容易记混,可你要是真的理解和内化了,每个公式都会让你产生不一样的体会,你绝对不可能用错。
这使我想起物理学家费曼有个著名的说法:如果你不能用简单的语言给一个外行解释一个东西,你就是没有真正理解这个东西。放在我们今天这里,大约就是你只是在逻辑上知道,你没有感受到。费曼总是用形象化的、直觉的思维考虑哪怕是最抽象的问题,比如你说一个什么理论限定的东西,他会想象一些小球,这些小球会根据理论的变化有时候带有颜色,有时候还长毛 [2]。
而尤金伲亚·程说,数学家研究数学,只有最后写出来的证明才是纯逻辑,思考的过程其实是直觉的,需要靠各种形象化的例子。
4.逻辑的边界
直觉对逻辑有帮助,而且哪怕从理论上来说,你也不可能生活在一个纯逻辑的世界。真实世界里有很多东西是不讲逻辑的。
比如学英语,像什么“单数复数”、什么“过去时态”,大多数情况下用简单规则就行,可是也有很多特例,而你完全不知道为什么要那么设定。更基本的是,这个单词为什么非要这样拼写呢?是因为它起源于德语吗?有时候有原因,有很多时候根本没有原因。你只能接受,而且还必须把它内化,才能在使用的时候脱口而出 —— 英国人说英语的时候,可不是像编程一样先想逻辑。
再比如说做选择。在餐馆点餐,你固然可以使用一些逻辑的原则,比如要求热量低、含糖量、没吃过的等等,你可以有各种原则,但最后你总会发现,即使把这些原则都用上,还是有几个选项无法决定。你终究得用一点直觉。特别是信息不足的情况下,直觉能帮我们快速决策。
还有,艺术创作总是需要直觉的。不管你是创造一支乐曲、画一幅画,还是写一篇文章,固然有逻辑上的要求和套路,但归根结底,总有一些东西是直觉上决定的。如果按逻辑推导就能创作出好东西来,岂不是人人都可以当艺术家。创作,总有一些说不清道不明的东西,只可意会。
说到这里,我们专栏以前讲过哥德尔不完备性定理,我们知道想要用逻辑完整描述一个系统是做不到的。所以总结今天的内容,如果你想纯粹靠逻辑生活,首先你没有那么强大的逻辑意志力;其次直觉会对你有帮助;而且哪怕在理论上,真实世界也不是纯逻辑的。
最后我忍不住想问,如果世界不是纯逻辑的,人生不能算法化,那“人工智能”又怎么说呢?这个问题太大,这就不是我们今天这一讲能说的了。
参考文献
[1] 关于这段典故的详细考证,见Jeffrey Kegler, Kurt Gödel: A Contradiction in the U.S. Co nstitution?https://jeffreykegler.github.io/personal/morgenstern.html
[2] 参见《别闹了,费曼先生》一书。
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