二次函数压轴题换个思路茅塞顿开

抛物线的确定

平面直角坐标系中，三个不同的点，必须同时满足以下两个条件：

1、不在同一直线上；

2、过任意其中两点的直线不与y轴平行（或横坐标不能相同）。

利用抛物线的确定方法，我们可以更轻松解决类似二次函数不经过某个点的问题，只须将上述条件反过来理解，便可以得到解决此类问题的模型：

若要抛物线不经过某个点P，第一步先确定图像上另两个点A、B，证明这个点P在直线AB上，显然解法是将点P坐标代入直线AB解析式；第二步是比较点P与点A、B的横坐标，与它们的横坐标之一相同，解法是等量关系列方程。

题目

如图，Rt△AEO和Rt△BFO关于直线y=-x成轴对称，抛物线y=ax² bx c（a≠0）经过A（1，2）和B两点．

（1）直接写出B点坐标；

（2）分别用含a的代数式表示b和c；

（3）若对任意非零实数a，抛物线y=ax² bx c都不经过P（t，t² 1），求出直线AP的函数解析式。

解

析：

（1）利用对称性得B(-2，-1)；

（2）将A（1，2）和B（-2，-1）代入y=ax² bx c中，分别得到a b c=2和4a-2b c=-1，解得b=a 1，c=1-2a；

（3）抛物线不经过点P（t，t² 1），题目条件中抛物线上已经确定的两个点是A、B，于是可以得出，点P一定在直线AB上，或与点A、B横坐标相同。

①点P在直线AB上，先求出直线AB解析式为y=x 1，将P（t，t² 1）代入，解得t=0或1，而当t=1时，求得的P点坐标与A重合，于是舍去，从而得到P（0，1）

②点P的横坐标与A、B相同，当t=1时，前面已经讨论过它与点A重合，不符合；当t=-2时，得到P（-2，5）

综上所述，符合条件的点为P（0，1）或（-2，5）

曾经我们采用的方法是将点P坐标代入抛物线解析式，得到含参数的方程，通过研究方程的解的情况来判断抛物线是否经过，计算量较大，技巧性很强，学生理解起来也困难，而采用这种方法，不禁让人有茅塞顿开的感觉，原来抛物线不经过某点的解决方法如此简单。

布置一道变式题，有兴趣的老师或同学们，大可用上述方法尝试一下：

练习：抛物线C1：y=2x² mx m过定点M，其顶点P坐标为（p，q），将点M绕原点逆时针旋转90°得到点N，抛物线C2：y=ax² bx c经过点M、N.

(1)填空:M（_____，_____）N（_____，_____）；

(2)用含p的代数式表示q；

(3)当抛物线C1与线段OM恰有两个交点时，试确定m的取值范围；

(4)若无论a、b、c取何值，抛物线C2都不经过点P，请求出点P的坐标.

本文方法来自彭同洲老师，一位在解题教学中浸淫已久的数学老师，他在看了之前《抛物线不经过平面上某个点的解决之道》后，专门在QQ上与我交流了此类问题的解法，认为我先前的解法太过于繁琐，于是提出了上面的解法，在此对彭老师表示衷心感谢！