讨论：什么样的课是好课（28）

让学生在数学思维世界里遨游

——圆规的三次运用与超越

    “圆的认识”是苏教版小学数学第十册的教学内容，很多数学名师演绎过不同的教学版本，华美而丰盛。笔者最近听到一节一线教师的“圆的认识”，教者巧妙地从学生的画圆工具——圆规着手，教学过程朴实而有余味。
    片断一：初试圆规，感悟圆。
    师：我们从生活中发现了很多的圆。你能画出一个圆吗？
    生1：我沿胶带圈一周可以画一个圆。
    生2：两个量角器拼在一起也可以画一个圆。
    生3：我可以用圆规画一个圆。
    师（展示学生画出的圆与以前的三角形、长方形和正方形等）：描述一下，圆与以前的平面图形有什么不同呢？
    生4：以前的图形有角，圆没有角。
    生5：圆是由曲线围成的。
    师（出示椭圆）：它没有角，也是圆吗？
    生6：不是圆。圆是很饱满的。
    师（呈现学生类似于椭圆的失败画法）：有一个学生用圆规画圆，没有成功，可能是什么原因呢？
    生7：可能针尖没有固定好。
    生8；也可能圆规两脚活动了，有长有短就不是圆了。
    生9：画圆时要保证长度始终不变。
    思考：学生的画圆方法可以归纳为两种：一是沿圆形物体画，二是用圆规画。学生第一次使用圆规，难免失败。教者借机通过反思圆规画圆失败的原因，使学生直观感受到圆中心的一点到四周处处相等。利用圆规，我们的眼光不只停留于可以画好圆，进而还能获得对圆的直接感悟，这是使用圆规的第一次超越。
    片断二：依托圆规，理解圆。
    师：上面的几种方法，你喜欢哪种方法？
    生：我喜欢用圆规画。
    师：为什么？
    生：用圆规可以把圆画大，也可以画小些。
    师：控制圆的大小的两脚之间的距离是圆的什么？
    生：圆的半径。
    师：圆规的一脚确定的位置是什么？
    生：圆心。
    ……
    师：你还有什么发现？
    生：圆有无数条半径，都相等。
    师：你有什么办法让别人信服？
    生：我们在画圆时圆规两脚之间的距离是始终不变的。
    ……
    思考：圆规不应只是画圆的工具，还是学生理解圆、探究圆的直接载体。教者由圆规引出圆心、半径以及直径的概念并进而探讨它们之间的关系，让学生全面理解圆的特征。合理利用对圆规的各部分构件原理的理解，促进对圆的特征的理解，这是使用圆规的第二次超越。
    片断三：超越圆规，创造圆。
    师：刚才我们用圆规画了很多的圆。现在体育老师要在操场上画一个半径20米的圆。还能用圆规吗？该怎么办呢？
    生1：不能用圆规了，因为我们没有两脚之间距离可以达20米的圆规。
    生2：我们可以用一根20米的绳子，一个人站着不动，另外一个人拉着绳子跑一圈，就得到这样的圆了。
    师（视频呈现）：这个方法与圆规画圆有什么相同之处呢？
    生：一个人站着不动相当于针尖，确定了圆心，另外一个人拉着绳子就相当于两脚之间的距离，确定了半径。
    师：我国古代大思想家墨子说过：“圆，一中同长也！”知道什么意思吗？
    生：一中，就是一个圆心，同长，就是相同的半径。
    师：这是对圆的最朴实的描述，也正是圆规的设计原理，是我们用绳子画圆的依据。
    思考：圆规是人们画圆的工具。我们的思维不能被工具所束缚，要让学生跳出既有的圆规，让学生根据圆的特征自己“发明”生活中的“圆规”，灵活地解决实际问题，抽象提取出圆的本质。这是使用圆规的第三次超越。
    感悟：
    1．有效挖掘圆规的教学价值。
    在很多老师的眼里，圆规只是一个普通的画圆工具。实际教学中，除了指导学生如何用圆规画好圆之外，似乎没有更多的教学价值。本课的精妙之处，在于教者在圆规的三次使用中，引导学生实现了三次思维的超越：
    一是从用圆规画好圆到反思什么是圆，变机械操作为理性思考，实现了思维方式上的超越；二是从圆规的工具性到探究圆规本身的原理，从表面现象透视内在本质，实现了价值上的超越；三是从“有形”的圆规到“无形”的圆规，将外部表现转化为内在理解，实现了方法上的超越。在对圆规一次又一次不同的审视后，最终得到提升的是学生对于圆的本质的理解。
    此课也触动我反思：在我们日常的数学课堂中，是否存在着许多被忽视的课程资源？一个教具、一道习题、一次差错等，都值得我们从数学学习的角度去追问：我们还能给学生更多一些吗？我们还能让学生更深入一些吗？我们还能给学生不同的收获吗？
    2．用数学思考点亮数学课堂。
    数学教学要避免情境包装过度。一节课铺陈过于复杂的问题情境，再抽丝剥茧，概括知识结论，势必牵扯很多的时间和精力。课堂教学的时间终究是有限的，承载太多的教育期望会让数学教学迷失自我的方向。
    数学课堂的根本在于，积极引领学生参与数学问题内在本质的思考。本课教者从对圆的认识，由浅入深，由远至近，不断制造问题冲突，创设矛盾情境，推动学生的深刻理解。在学生回答圆是由曲线围成的图形后，立即呈现椭圆形，通过比较、分析，进一步明确圆的表象，再通过对画圆失败的反思、归纳，强化认识。在让学生“证明”同一圆内所有半径相等，教者不只是让学生通过画和量简单的证明，还让学生进行逻辑推理。在学生熟悉甚至依赖圆规的情况下，提出操场画圆的问题，打破学生的常规思维，迫使学生寻找更合适的方法，一步一步走进圆的世界。
    波利亚认为：要把三分之一的努力花在教些基本的数学上，而把三分之二的努力花在培养学生有益的思维方法和思维习惯上。精彩的数学课堂不一定非要强调形式如何新颖，内容如何丰满，当教师引领学生在数学思维世界里遨游时，我们的数学课堂就可以说是有效的、深刻的、灵动的!