R语言小数定律的保险业应用：泊松分布模拟索赔次数

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在保险业中，由于分散投资，通常会在合法的大型投资组合中提及大数定律。在一定时期内，损失“可预测”（点击文末“阅读原文”获取完整代码数据）。

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当然，在标准的统计假设下，即有限的期望值和独立性。由于在保险业中，灾难通常很少发生，而且代价非常高昂，精算师可能有兴趣对少量事件的发生进行建模。背后的定理有时也被称为小数定律。

泊松分布

所谓的泊松分布（请参阅http://en.wikipedia.org/…）由SiméonPoisson于1837年进行了介绍。 亚伯拉罕·德 ·莫伊夫（Abraham De Moivre）于1711年在De Mensura Sortis seu对其进行了定义 。

让  

表示一个计数随机变量，然后它是服从泊松分布，这样

De Moivre从二项式分布的近似值获得了该分布。回想一下，二项式分布是精算科学中的标准分布，例如，用来模拟

被保险人死亡人数  。如果单个死亡概率相同，例如

，并且如果死亡是独立事件，则

而如果  ，然后 ，再次，这是一个渐近定理，当我们有很多观察值时，成立，它也成立，而且出现的可能性应该非常小（因为，这就是为什么要使用术语“ 小数”的原因。SiméonPoisson对数学近似值不感兴趣：他的主要观点是针对他正在处理的数据获得具有良好拟合优度的分布。

小数定律

与Poisson分布有关的主要定理的启发式如下：  

表示iid随机变量采用值

（一般情况下，一个分量可以是时间，另一分量可以是感兴趣的上部区域，其中某些随机过程是可能）。让

。如果  

作为假设（或

更具体地假设），则  

表示事件的（随机变量表征）计数

，则  

可以通过带有参数的泊松分布来近似

。
启发式方法是，如果考虑大量观察值，并且计算给定（小）区域中有多少观察值，则此类观察值的数量就是泊松分布。

n=1000






polygon(c(u,rev(u)),c(v,rev(-v)),col="yellow",border=NA)
I=(X^2+Y^2)<1
points(X[I],Y[I],cex=.6,pch=19,col="red")

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