概率论中,矩生成函数(Moment-generating Function)和特征函数(Characteristic Function)是定义 概率分布函数的另一种形式。
特征函数能够唯一确定随机变量的概率分布,如果随机变量的概率密度函数$f(x)$存在,特征函数相当于 $f(x)$的傅里叶变换。
如果随机变量分布的矩母函数存在,那么矩母函数和特征函数之间存在关系。
蒙特卡洛计算
可以使用蒙特卡洛模拟来计算矩生成函数函数,
> F=function(x) ifelse(x<0,0,1-exp(-x)/3)
> Finv=function(u) uniroot(function(x) F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root
或
> Finv=function(u) ifelse(3*u>1,0,uniroot(function(x)
+ F(x)-u,c(-1e-9,1e4))$root))
> plot(u,v,type="b",col='blue')
> lines(u,Mtheo(u),col="red")
可以计算
> M(3)
[1] 5748134
有限总和始终可以通过数字计算。就算在这里 不存在。就像Cauhy样本的平均值一样,即使期望值不存在,我也总是可以计算出来
> mean(rcauchy(1000000))
[1] 0.006069028
这些生成函数在存在时会很有趣。也许使用特征函数是一个更好的主意。
特征函数
当我们处理独立随机变量的总和时,特征函数很有趣,因为总和的特征函数是特征函数的乘积。考虑计算Gamma随机变量复合和的99.5%分位数的问题,即
策略是分散损失金额,
然后,要计算的代码 , 我们用
99.5%分位数
> sum(cumsum(f)<.995)
> print(X[1:5])
[1] 75.51818 118.16428 14.57067 13.97953 43.60686
shape rate
1.309020256 0.013090411
(0.117430137) (0.001419982)
> alpha
[1] 1.308995
> beta
[1] 0.01309016
> lambda <- 100
如果我们生成一百万个变量,我们可以得到分位数的估算,
> set.seed(1)
> quantile(rcpd4(1e6),.995)
99.5%
13651.64
另一个想法是记住Gamma分布的比例:独立Gamma分布的总和仍然是Gamma(在参数上有附加假设,但在此我们考虑相同的Gamma分布)。因此,可以计算复合和的累积分布函数,
如果我们求解那个函数,我们得到分位数
> uniroot()$root
[1] 13654.43
这与我们的蒙特卡洛计算一致。现在,我们也可以在此处使用快速傅立叶变换,
> sum(cumsum(f)<.995)
[1] 13654
让我们比较获得这三个输出的计算时间
> system.time
user system elapsed
2.453 0.106 2.611
> system.time
user system elapsed
0.041 0.012 0.361
> system.time
user system elapsed
0.527 0.020 0.560
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