R语言中的多项式回归、B样条曲线(B-spline Curves)回归

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在线性模型的文章中，我们已经了解了如何在给出协变量x的向量时构造线性模型。但更一般而言，我们可以考虑协变量的变换，来使用线性模型。

我们首先讨论多项式回归，进一步，我们会想到分段线性或分段多项式函数，可能还有附加的连续性约束，这些是样条曲线回归的基础。

多项式回归

谈论多项式回归时（在单变量情况下）

我们使用


coef = leg.poly(n=4)[[1]]1

[[2]]x

[[3]]-0.5 + 1.5*x^2

[[4]]-1.5*x + 2.5*x^3

[[5]]0.375 - 3.75*x^2 + 4.375*x^4

有许多正交多项式族（Jacobi多项式，  Laguerre多项式，  Hermite多项式等）。在R中有用于多项式回归的标准多边形函数。

当使用poly时，我们使用矩阵的 QR分解。我们使用


poly - function (x, deg = 1) {xbar = mean(x)x = x - xbarQR = qr(outer(x, 0:degree, "^"))X = qr.qy(QR, diag(diag(QR$qr),

这两个模型是等效的。





dist~speed+I(speed^2)+I(speed^3)dist~poly(speed,3)

 

我们有完全相同的预测




v1[u==15]12138.43919v2[u==15]12138.43919

系数没有相同的解释，但是p值完全相同，两个模型以相同的置信度拒绝三次多项式，


summary(reg1)

Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -19.50505 28.40530 -0.687 0.496speed 6.80111 6.80113 1.000 0.323I(speed^2) -0.34966 0.49988 -0.699 0.488I(speed^3) 0.01025 0.01130 0.907 0.369

Residual standard error: 15.2 on 46 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.6732, Adjusted R-squared: 0.6519F-statistic: 31.58 on 3 and 46 DF, p-value: 3.074e-11

summary(reg2)

Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 42.98 2.15 19.988 < 2e-16 ***poly(speed, 3)1 145.55 15.21 9.573 1.6e-12 ***poly(speed, 3)2 23.00 15.21 1.512 0.137poly(speed, 3)3 13.80 15.21 0.907 0.369---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15.2 on 46 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.6732, Adjusted R-squared: 0.6519F-statistic: 31.58 on 3 and 46 DF, p-value: 3.074e-11

B样条曲线（B-spline curve）和GAM

样条曲线在回归模型中也很重要，尤其是当我们开始讨论 广义加性模型时。在单变量情况下，我通过引入（线性）样条曲线，

模型是连续的（连续函数的加权总和是连续的）。我们可以进一步 

二次样条

用于三次样条。有趣的是，二次样条不仅是连续的，而且它们的一阶导数也是连续的（三次样条是连续的）。这些模型易于解释。例如，简单的模型

是以下连续的分段线性函数，在节点s处分段。

还应遵守以下解释：对于xx较小的值，线性增加，斜率\beta_1β1\;对于xx较大的值，线性减小，斜率\ beta_1 + \beta_2β1+β2。因此，\beta_2β2被解释为斜率的变化。

现在在R中使用bs函数（即标准B样条）并可视化




x = seq(5,25,by=.25)B = bs(x,knots=c(10,20),Boundary.knots=c(5,55),degre=1)matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2,col=clr6)


提到的函数如下




par(mfrow=c(1,2))

matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2)

matplot(x,B,type="l",col=clr)


多项式回归中这两个模型表示方法是等效的。例如


dist~speed+pos(speed,10)+pos(speed,20dist~bs(speed,degree=1,knots=c(10,20)


v1[u==15]12139.35747v2[u==15]12139.35747

这两个模型以及系数的解释是等效的：


summary(reg1)

Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -7.6305 16.2941 -0.468 0.6418speed 3.0630 1.8238 1.679 0.0998 .pos(speed, 10) 0.2087 2.2453 0.093 0.9263pos(speed, 20) 4.2812 2.2843 1.874 0.0673 .---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15 on 46 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.6821, Adjusted R-squared: 0.6613F-statistic: 32.89 on 3 and 46 DF, p-value: 1.643e-11

summary(reg2)

Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 4.621 9.344 0.495 0.6233bs(speed, degree = 1, knots = c(10, 20))1 18.378 10.943 1.679 0.0998 .bs(speed, degree = 1, knots = c(10, 20))2 51.094 10.040 5.089 6.51e-06 ***bs(speed, degree = 1, knots = c(10, 20))3 88.859 12.047 7.376 2.49e-09 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15 on 46 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.6821, Adjusted R-squared: 0.6613F-statistic: 32.89 on 3 and 46 DF, p-value: 1.643e-11

在这里我们可以直接看到，第一个结点的斜率没有明显变化。

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