游戏规则

游戏规则是：在玩家面前有三扇门，其中一扇门后面有汽车，另外两扇门后面有羊。玩家并不清楚每扇门后面有什么，他会随机选定一扇门，从而获得门后的奖品，当然，玩家更希望获得汽车。

为了让游戏更有乐趣，在玩家指定一扇门之后，清楚门后面是什么奖品的主持人会打开另外一扇门，主持人会保证这扇门既不是玩家指定的，门后也不是玩家想要的汽车。

然后，主持人会问玩家一个问题：你是否要改变你的选择，去选择另一扇没有打开的门？

这个问题也被称为蒙提霍尔问题，因为它曾经出现在美国的一个电视节目《Let’s make a deal》中，问题的名字来源于节目主持人蒙提霍尔。

虽然这是一个很简单的游戏，很多人会觉得此时换门与不换门，中奖概率都是50%。但是数学家们却不这么认为。经过概率计算，此时玩家如果更换选定的门，拿到汽车的概率会提高一倍。其实这并不难理解。

中奖概率

首先我们假定玩家不换门，而是自始至终认定一扇门，那么主持人开哪扇门都与玩家无关。在一共三扇门中选出中奖的那一扇门，概率为1/3.

那么如果玩家换门呢？我们不妨假设汽车就在第一扇门后，另外两扇门后是山羊。然后分三种情况讨论：

1. 假如玩家最初选定的是1号门。此时主持人会随机打开2、3两扇门中的一扇，例如打开2号门。此时玩家更换选择，就会变为选定3号门，从而无法中奖获得汽车。同样，如果主持人打开3号门，玩家更换选择就是指定2号门，依然无法获得汽车。

2. 假如玩家最初选定的是2号门，此时主持人不能打开1号门，因为1号门背后是汽车。主持人会打开3号门给玩家看。玩家更换选择，会指定1号门，从而获得汽车大奖。

3. 如果玩家最初选定的是3号门，由于车在1号门后，主持人必须打开2号门给玩家看。玩家更换选择到1号门，从而获得汽车大奖。

综上所述，如果玩家更换选择，那么在全部三种情况中，1种情况玩家错过汽车，2种情况玩家获得汽车。中将概率为2/3.

我们也可以把全部的情况列表如下，同样会发现：如果坚持不换，3种情况中有1种可以获得汽车。如果换门，3种情况中有两种可以获得汽车。

为什么更换选择会造成中奖率的提高呢？

这是因为：在最初玩家选择的时候，三扇门中只有1个中奖，因此中奖的概率为1/3，不中奖的概率为2/3，或者说奖品在另外两扇门后的概率为2/3。

现在主持人去掉了一个错误的答案，那么另外两扇门后2/3的中奖概率就浓缩到其中一扇门上了。如果我们更换了选择，中奖概率就提高了。

我们不妨更夸张一些：如果一共有100扇门，只有一扇门背后有奖品。我们随机指定了一扇门，那么中奖概率有1/100，另外99/100的中奖可能在另外99扇门后。

然后主持人打开了另外98扇没有奖品的门，相当于去掉了98个错误，这样99/100的中奖概率就集中在余下的那一个既没有被我选定，也没有被主持人打开的门里了。此时我们肯定要更换我们的选择。

三门问题还有很多变形，原理都差不多。更换门之所以能够提高中奖率，是因为好心的主持人帮我们去掉了错误的选项。

如果我们在生活中遇到了类似的问题，例如开发新产品有3种选择，我们确信有且只有一种选择可以获得成功。但是，我们完全无法判断哪种更好，于是随机选择了一种。还没等我们开发，另外一家倒霉蛋公司刚好开发了第二种产品，而且恶评如潮。此时我们果断更换到第三种模式，会大大提高我们的成功率。

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