一个有趣的竖式谜问题

竖式谜是一类非常有趣的题型，不仅可以锻炼逻辑推理能力，同时还能顺便熟悉多位数的四则运算特性。空暇时做一道竖式谜的题目，就像玩个小游戏，乐趣无穷。

竖式谜可以分为两大类。一类是在竖式中遮盖一部分数字，要求把被遮盖的数字补充完整；另一类是把数字替换成汉字或者字母，相同的汉字/字母代表同一个数字，不同的汉字/字母代表的一定不是同一个数字。也有的竖式谜是这两种类型的混合方式。今天讨论的题目属于第二类竖式谜。温馨提示：有兴趣的读者可以在看完题目后自己先做一下，再读后面的分析。

下面来看看题目。

问题1：一共有多少个这样的加法竖式？

问题2：四位数“鸟语花香”最大是多少？

下面用几个优美的曲线图作为分隔区。曲线图后面是题目的解答。

黄金螺线

阿基米德螺线

心形线

问题2属于典型的竖式谜问题，用基本的竖式谜解法可以解决；问题1实质上是计数问题，只不过是在竖式背景下提出来。我们先来解决问题2。

要使四位数最大，我们要从高位开始考虑，务必使每个位上的数字都尽量达到最大。首先看千位数，显然只能是“1”。其次看百位数。不难发现十位肯定要向百位进位，所以“燕”+“语”最多是9，同时“燕”不能是0和1。这样一来“语”最大只能7，此时“燕”只能是2。接着看十位数。此时数字1,2,7都已经用过了，而且“春”+“归”+“花”不超过10（因为个位也肯定要向十位进位）。为了让“花”代表尽量大的数字，“春”和“归”要尽量小。余下可以用的数字中最小的两个是0和3，所以“花”不能对应8或者9，最大只能是6。最后，个位可以取到最大的数字9。下面是一个使“鸟语花香”表示1769的竖式。

对于问题1，如果使用类似问题2这样的基本的竖式谜分析方法，很容易发生错漏。下面我们使用计数问题的分析方法，更简明一些。竖式中一共出现了9个不同的汉字，而数字共有10个，我们首先找出唯一没有使用的那个数字。为了说清楚找这个数字的方法，我们先来看两个简单的加法式子，观察一下加数的数字和与和数的数字和的关系。

在左边的加法竖式里，加数的数字和为3+2+5+3=13，和数的数字和为8+5=13。在右边的加法竖式里，加数的数字和为1+7+3+6=17，和数的数字和为5+3=8。

这两个竖式代表了两种不同的情况。在左边的加法竖式中，和数的个位数字就是两个加数的个位数字之和，和数的十位数字就是两个加数的十位数字之和。所以两个加数的数字和等于和数的数字和。

为什么右边的竖式中两个加数的数字和会比和数的数字和多9？因为个位向十位进位了。两个加数的个位数字之和是13，而和数的个位数字是3，比加数的个位数字之和少了10。作为补偿，和数的十位数字5比加数的十位数字之和4大了1，因为要加上个位的进位。两相抵消，和数的数字和比加数的数字和少9。同理可知，如果产生两次进位，那么加数的数字和要减18才是和的数字和，三次进位则相差27，等等。

现在回到我们讨论的问题。2011的数字和是4，所以三个加数的所有数字的和只能是13,22,31,40，等等。从0到9中去掉一个数字，剩下的9个数字的和要等于这些数中之一，唯一的可能是去掉数字5，得到数字和40。其中，“鸟”字必定代表数字1，而其余8个数字要分配给其他8个汉字。

由于加数的数字和比和数的数字和大36，可知一共有4个进位，其中百位必定向千位进1，十位和个位的进位分两种情况：

(1) 十位向百位进2，个位向十位进1；

(2) 十位向百位进1，个位向十位进2。

相应于这两种情况，可推出下面两组等式关系。列出满足其中任意一组关系的所有可能性，就是满足竖式谜的所有竖式的个数。

下面的表格列出了百位和十位的五个数字的所有组合。对于其中任意一个组合，个位的三个数字也就唯一确定了，它们可以以任意的方式分配给“天”、“来”、“香”三个汉字。

分隔线上方的组合满足第一组等式，下方的组合满足第二组等式。第一行表示“燕=2，语=6，春、归、花以任意顺序取数字3，8，9”，所以有6种分配方式。其他行以类似方式理解。需要注意的是分隔线下方以红色标注的行，分配方式不是6种而是4种。原因是“春”字作为首位数字不能取数字0，所以要从6种分配方式中去掉“春”字取数字0的两种。

表格中所有分配方式相加得52，这只是“燕、语、春、归、花”五个汉字的分配方式。当这五个汉字都已经分配好对应的数字后，余下的三个数字可以以任意顺序分配给个位上的三个汉字“天、来、香”，从而再衍生出6种分配方式。于是最终得不同竖式的个数为52×6=312。