组合作为全国高中数学联赛中难度最大的模块之一，是不少同学入选省队、参加冬令营的拦路虎，那么，组合问题究竟该怎么学？平时该怎么训练拔高？
针对这个问题，我们特别邀请了爱尖子崔伟文老师于6月4日晚给大家开了一场关于数学竞赛中组合问题的学习方法建议的讲座，现将讲座内容整理成文字，希望能给同学们一些启发和借鉴，本文仅崔老师对组合学习的个人见解，如有不妥，欢迎指正~
讲座正文如下：
提示，字字干货，集合了几位老师的心血，一定要看到最后！
《数学竞赛中组合问题学习方法建议》
主讲人：崔伟文
目录：
一、中学竞赛组合问题简介
二、中学竞赛组合问题学习规划
三、组合问题训练方法
四、组合学习的常见思考流程和误区
五、组合问题冲刺学习建议
六、常用书籍推荐
组合问题简介
首先我们要搞清楚一个问题 —— 什么是组合问题？
组合问题，其实是一个比较杂的分类，宏观来讲，不能归于代数、几何、数论部分的问题，都可以归为组合问题。常见的组合问题可以分为两个分支：
第一类叫组合计数问题，是基于课内“排列组合”的部分知识，进行拓展和扩充；
第二类叫组合杂题，包括组合最值问题、组合构造问题、对策与操作等几个主要类型。
高考只考一些非常简单的计数问题，或者以计数方法为基础的古典概率问题；
自招考试中，也很少涉及到组合杂题，多以稍繁琐的计数问题为主；
数学竞赛中，高联一试考较复杂的分类计数，高联二试及以上的考试一般以组合杂题为主，且难度很大，涉及范围广，形式灵活多变，对数学综合分析的能力要求也更高。
组合问题学习规划
关于组合杂题，我们要做到了解基本的组合原理，并以此为基础，拓展思考方法，积累常见的组合构造。
1、了解基本组合原理
基础的组合原理，包括但不限于抽屉原理、极端原理、容斥原理、算两次、染色与赋值法。很多原理的内容，其实不难理解，比如“抽屉原理”，国外叫“鸽笼原理”，桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。用标准的数学语言来说，就是将m+1个元素放入m个集合中，则至少有一个集合中有2个或更多的元素；将mn+1个元素放入m个集合中，则必有一个集合里包括n+1或者更多个元素。
原理讲起来很简单，真正的难点在于如何应用。就说抽屉原理，最难的地方在于遇到题目时要意识到可以应用抽屉原理来解决，以及如何构造所需要的“抽屉”，也就是数学概念中的集合。这其实也是组合学习、组合训练核心想要解决的问题。
2、拓宽思考方法
思考方法，就是当我们面对一个问题的时候，该从什么角度着手解决问题。但组合问题的切入点很杂，难以概括，不同背景的组合问题，切入点可能差别很大，所以需要多见一些问题来帮助积累。
3、积累常见构造
积累常见构造，就是指学生们应该记忆一些常见的组合问题中，满足题意要求的构造形式，比如最少的点、最长的线、最短的路径等，这些形式在类似背景问题中，有的可以直接应用，有的可以作为构造方式的参考，都对解决问题有较大的帮助。同时，可以尝试挖掘一下可能的推广，不过这方面难度较高，最好能够有教练员帮忙。
那么，具体该怎么规划呢？
抓住一个核心 —— 按照高联大纲要求的组合知识学习。
从具体学习进度上来说，建议：
高一开始系统的学习基本组合原理，以及对应的简单应用，积累相关的构造；
高二，目标是联赛省一等奖或者更高的成绩的同学，应该尝试系统的学习较为抽象的组合知识，如图论等。
组合问题训练方法
下面来说说如何训练解题。
1、训练题目：基础课程训练——简单竞赛题——高联真题/模拟题——CMO中简单题
① 先接受较为系统的组合基础训练（可以自己刷教程，也可以跟着培训），完成与课程配套的基础训练题，逐渐理解组合问题的思考方法和解决办法；
② 推荐先做一些较简单的竞赛真题，如东南数学竞赛高一组试题，或者高联中偶见的40分的二试解答题，这些题目绝对难度没有那么高，也通常不会在分析问题的角度上制造过大的障碍，可以尝试摸索题目的内在规律和特征；
③ 在以上两个步骤打牢基础后再做高联真题，及比较靠谱的高联模拟题，甚至可以挑战一下CMO里的题目。当然，CMO中的组合问题，一般都是3/6题，难度会很大，对于能力、积累有欠缺，没有达到省队水平的同学来说，会显得过于困难，不推荐做很多。
2、训练频率：保证每周1道二试大题
除了系统学习（课程或刷书），要坚持每周做一道高联二试水平的组合解答题，保证训练量。尽量做有明确来源的题，保证题目不存在问题，这点非常重要，避免浪费时间。
3、训练方法：保证考场同等时间思考
比如做一个高联二试50分的组合题，考场上平均需要分配给这个题目大约45分钟，那么如果我没有思路，我也要保证40分钟的思考时间，尝试把这段思考时间里，所做的所有尝试总结下来，然后和答案对比，这才是较好的利用题目去提高解题能力的方法。
4、学会看答案，学会做总结
很多学生觉得答案读通顺、看明白就完了，这是不对的。不仅要看懂，还要分析透彻。数学题目的答案，很多都是“黑话”，也就是别人已经整理加工过，将阅读顺序最好的过程书写了出来，而不是“思考的过程”。
作为一名优秀的竞赛生，要学着去挖掘答案背后的逻辑，从切入问题的角度，到尝试、估计、猜想，再到最终结论的证明，要让自己理解每一步都很“自然”才行，不然很难把答案中的精华变为“自己的”。
同时，要学会做总结。善于总结自身经历，反思自己曾经犯过的错误，是最快捷的进步路线。这种总结未必要流于形式，非要弄一个错题本，把做错的题目工工整整的摘抄下来，更多的，应该是一种思维上的总结，尝试去概括遇到的问题有哪些相通的点，并且尝试在这些共性中摸索一类问题的规律。只有这样，平时训练才有用。这种思考和提炼的过程，本身也是一种非常好的锻炼。
常见思考流程
下面简单介绍一下遇到组合问题时常见的思考流程。组合问题通常会描述一个背景，定义一个框架，或者设计一套规则，哪些是允许的，哪些是不允许的等等。
首先我们要深入理解组合系统的规则，并且最好能够在理解规则的基础之上，发现一些直接的推论、特征，这样的规则，是我们解决组合问题的基础。
其次，在理解规则的基础之上，可以先从简单的情况进行尝试。比如，题目中描述的是一个8*8的棋盘，如果直接在8*8的情况研究较为复杂，我们可以尝试先从2*2，或者4*4的情况入手，枚举更多的情况，并且尝试把这样的过程、规律、方法，向一般情况进行延伸。
接着，尝试与之前见过的模型与方法进行匹配，如果平时训练中有做过类似问题，当然就好办了．如果没有，也可以尝试将一些感觉上相似的问题，进行变形和推广，通常也会有一定的帮助．
最后，就是总结问题中的共性，大胆猜想。熟悉数学归纳法的同学肯定都了解，先猜到结论再去验证的方法，要比直接推导、演算容易很多。很多组合问题中，答案的形式较容易猜测，比如先从简单的情况中总结出规律，然后按照猜想的结论、简单情况的方法，对一般情况进行证明。很多组合最值问题，能否“猜对答案”基本就决定了这个问题能不能做出来。
常见误区
简单说一下几个常见的误区：
1、 了解很多却不求甚解
经常看书，见过不少结论，却不知道背后的方法、规律，那么这个了解要打很大折扣。对于组合问题，方法和思路比记一个结论要重要；我们很少直接照搬一个特定形式的结论，却经常对证明方法进行推广。
2、 追求偏题难题怪题
这个应该是中学竞赛学习各个模块共性的误区了，组合问题这一部分可能体现的更加明显一些，因为组合题本身可能更“偏难怪”一些。在组合学习中，特别是组合学习的初期，千万不要花大量的时间来钻研超越自己当前水平很多的问题，或者特别冷僻不常见的问题，投入很大却收获很小。具体做题的方式可参见上文。
3、 认为自己看懂答案就会了
能看懂和自己会做完全是两回事，组合问题的答案很容易让人捶胸顿足，“精妙啊！我怎么就没想到呢？”实际上，真正搞懂这个问题的答案才是题目对你来说最大的价值。
4、 不写过程
组合问题的过程，其实不好写。它倒不是像平面几何，在过程上要求比较细致，必须严格按照几何命题的逻辑书写，而是这种杂项的问题本身就不好想，想明白之后，也不容易表达明白。所以，过程书写这部分训练不可忽视，平时应该多写，多与标准答案对照。
组合问题冲刺学习建议
下面针对马上就要来临的高联，给大家提一点备考建议。
首先，组合计数部分，涉及到的方法一般都是常规方法，建议按部就班，跟着联赛一试的习题训练来准备即可。
其次，组合杂题部分，建议有针对性的训练、拔高，可以选择专门的组合培训课程，也可以参加一个暑期高联集训营。
对于没什么基础的同学，其实不推荐在这个阶段再“恶补”组合了，有这个精力不如把一试、代数、平面几何好好做一做，保证较容易拿分的部分得分率高一些。赛前跟着组合课程，简单见识一下这类题目的形式、思考方法就可以了，主要为明年冲刺更好的成绩做准备。
对于有基础的同学，建议从题目出发，多总结方法，提升对已知内容的理解，拓展思路，同时也能在考前保持一个优秀的做题状态。如果能有老师带着会事半功倍。
常用书籍推荐
下面给大家推荐两本常用书。
比较推荐的是《奥林匹克小丛书》系列，也就是俗称的小蓝本，以及《奥赛经典》。这两套书的组合章节，知识点相对整理更加系统，讲解也比较细致，适合从零开始学习组合的同学。
值得注意的是，市面上几乎所有的组合问题的参考书，题目的难度跨度都比较大，这也和组合问题自身的特征有关，所以有时候，感觉每章前面的练习题很简单，但最后几个问题做不出来也是正常的，不用过分担忧。随着综合能力的提升，有些问题自然就显得没那么难了。
■ ■■■■
最后，竞赛学习是一个反复积累的过程，刷教程刷题听老师讲课都是必不可少的环节。尤其是难度较大的组合模块，有时候老师的一句点拨可能比自己琢磨半天都有用。
所以，非常推荐今年参加高联的同学来听胡晓君老师主讲的 2018年高联冲刺之组合专题课！
（扫码即可购买课程）
此次课程是专门针对组合模块的拔高课程，从经典例题出发，帮助同学们梳理重要考点，总结常见解题方法，提升解题技巧。
课程采用线上直播，足不出户就可以和名师面对面交流，全国各地的小伙伴共同探讨，且直播过程中听不懂的问题还可以无限回放，一直到2018年12月31日均可无限回放哦。
课程基于高联二试，个别例题可能达到冬令营难度，具体安排如下：
后天（6月7日）就开课啦，今年想冲刺高联一等奖及以上的同学，千万不要错过！
联系客服
