一分钟数学——塞瓦定理及其逆定理

塞瓦定理

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定理内容

上次介绍了（建议先阅读一下，链接→→） 梅涅劳斯定理及其逆定理，文末说过它和塞瓦定理互为对偶定理，那塞瓦定理到底是什么呢？

有一个点 S，不在 △ABC 的任何一条边或边的延长线上，根据 S 点相对于 △ABC 的位置，可以分为下图的两种情况。连接 AS、BS 和 CS，分别交 BC、AC 和 AB（或其延长线）于 P、Q 和 R。那么必然有：

原来塞瓦定理和梅涅劳斯定理这么相像啊，同样是 P、Q 和 R，两个定理一个三点共线，一个三线共点（分别与三角形顶点的连线），果真是对偶定理，看似机缘巧合，那如何证明塞瓦定理呢？

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两种证明方法

两种情况下的图有点类似，可能会让你想到 “ 燕尾定理 ” 吧，就是 S△ABS / S△ASC = BP / PC（比较好记哦），取这个名字应该是因为比较像燕子的尾巴。证明方法比较简单，不细说了，主要就是：两个三角形的底（高）相同，面积之比为高（底）之比。如果换下方向，那么一共（包括之前的）可以得到三个类似的式子，再将它们相乘，就（简单地）得证了：

还有另外一种利用梅涅劳斯定理的证明方法，我们可以认为直线 RSC “ 切割 ” 了 △ABC，根据梅涅劳斯定理，得到：

换一个方向，可以认为直线 BSQ “ 切割 ” 了 △ABC，同理可得：

再将两式相乘，就（愉快地）得证了：

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逆定理

塞瓦定理的逆定理就是把原定理的结论和条件等的顺序交换一下，仍成立（还是原来那张图）。设 P、Q 和 R 为 △ABC三边 BC、AC 和 BA（或其延长线）上的点，且 P、Q、R 均在边（线段）上，或者其中只有一个在边上（其余两个均在延长线上）。这时，如果：

那么三条直线 AP、BQ 和 CR 交于同一点，或者互相平行。 

这种情况限制下，P、Q 和 R 中至少有一个点在边上，不妨设 P 在 BC 上。若 BQ 与 CR 相交（不平行），设它们的交点为 S，又设 AS 与 BC 的交点为 P'（如上图所示）。根据塞瓦定理，可得：

再与假设中成立的算式相比较，可以得到 BP/PC=BP'/P'C，由于 P 和 P' 都在 BC 上，所以 P 和 P' 重合。也就是说，AP、CR 和 BQ 三线共点，交点为 S。

接下来考虑 BQ 与 CR 平行的情况（如上图所示），则 AR/RB = AC/QC，再代入假设中的式子：

这就说明，BQ 平行于 PA，即三条直线相互平行，得证。

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后记

塞瓦定理可以用于计算线段长度的比值关系，逆定理可以用来证明三点共线、三线共点。当然，塞瓦定理的推导过程也比较简单吧，只需要知道燕尾定理就可以了。是不是连用途都和梅涅劳斯定理十分类似呢？不愧是对偶定理啊。

不过，这两个的定理的出现时间可是大有不同。梅涅劳斯是大约公元 1 世纪古希腊数学家，也就是中国的东汉时期，三国以前；赛瓦则是 17 世纪的意大利数学家，中国的清代初期。两者相差了 1500 多年，那为什么它们这么神奇地成为了对偶定理呢？因为赛瓦找到了很久前的梅涅劳斯定理，仔细钻研后自己证明了塞瓦定理。