第13讲 与圆有关的几何问题（三）

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原创分割线

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本讲主要介绍相交弦定理、切割线定理和托勒密定理.

\section{知识梳理}

\textbf{1. 相交弦定理~}圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

\textbf{2. 切割线定理~}从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.

\textbf{3. 托勒密定理~}凸四边形内接于圆，则它的两条对角线长度之积等于两组对边乘积之和.

\section{典型例题}

\textbf{例1.~相交弦定理的应用}

如图，正方形$ABCD$内接于$\bigodot O$，点$P$在劣弧$AB$上，连接$DP$，交$AC$于点$Q$，若$QP=QO$，则$\displaystyle {QC\over QA}=$\rule[-5pt]{1.5cm}{0.01em}.

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\includegraphics[width=6cm]{202001180841}

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\textbf{例2.~切割线定理的应用}

圆与正三角形三边交于6个点，如图所示. 若$AG=2$，$GF=13$，$FC=1$，$HJ=7$，求$DE$的长.

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\includegraphics[width=5.5cm]{202001181000}

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\textbf{例3.~线段的比}

过$P$点作$\bigodot O_1$的切线$PN$，切点为$N$. $M$是线段$PN$的中点. $\bigodot O_2$过$P$、$M$两点，交$\bigodot O_1$于$A$、$B$. 直线$AB$交$PN$于$Q$. 求证：$PM=3MQ$.

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\includegraphics[width=7cm]{202001181104}

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\textbf{例4.~重要的平行线}

如图，点$P$为$\bigodot O$外一点，过点$P$作$\bigodot O$的两条切线，切点分别为$A$、$B$. 过点$A$作$PB$的平行线，交$\bigodot O$于点$C$. 连接$PC$，交$\bigodot O$于点$E$. 连接$AE$并延长交$PB$于点$K$，求证：$PE\cdot AC=CE\cdot KB$.

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\includegraphics[width=3.8cm]{202001180854}

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