以微课堂
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【将军饮马的由来】
传说在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
据说海伦略加思索就解决了它．从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
将这个问题转化为数学问题就是：如图，点A，B位于直线l的同一侧，在直线l上确定一点P，使得PA+PB最短.
分析：根据波利亚怎样解题的四个步骤，拿到一个题目后，首先理解题意：
未知量是什么？ 确定一点P，使得PA+PB最短；
条件是什么？ 点A,B位于直线l同侧，点 P是直线l上一点.
其次，拟定方案：
你以前见过它吗？ 没有
你知道一道与它有关的题目吗？有，譬如下题：
如图，点A，B分别位于直线l两侧，在直线l上确定一点P，使得PA+PB最短.
根据两点之间线段最短可得，AB<=PA+PB,当点A，P，B三点共线时，PA+PB最短，此时，PA+PB=AB。所以连接AB，线段AB与直线l的交点即为所求的点P.
如下图：
这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？
根据上面的解题过程可以看到，当两点分别位于直线两侧时，根据两点之间线段最短很容易得到点P的位置。结合这一经验，我们不妨这样思考，如果能在直线l的另一侧找到一个定点C，始终保持PB=PC，则问题PA+PB最短就转化为PA+PC最短，再根据两点之间线段最短可得，线段AC与直线l的交点就是所求作的点P。现在我们来看点C的位置如何确定。因为PB=PC，根据到线段两端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上可知，直线l是线段BC的垂直平分线.因此点B关于直线l的对称点即为点C.
根据以上分析可知，作点B关于直线l的对称点C，连接AC。则线段AC与直线l的交点即为所求作的点P.如下图：
当然，对于本题也可以作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B和直线l的交点即为所求作的点P. 线段A'B的长度即为最短距离.
反思：在上面的解题过程中，利用轴对称，将直线同侧两点中的一点对称到另一侧，将同侧两点到直线上一点的距离和最短问题，转化为异侧两点到直线上一点的距离和最短问题。再根据两点之间线段最短使问题得以解决。注意将军饮马问题的重要特征是：两定一动一直线（两个定点：点A、B；一动：点P），动点P所在的直线即为对称轴。这一点在运用中需要牢记。
【将军饮马模型的应用】
将军饮马模型在求线段和最短的问题中应用广泛，凡是轴对称图形，都可以设计将军饮马问题.
【将军饮马之变形】
【变式一】如图，点A(-4，5），点B(2，3)，点C、D是x轴上两个动点（点D位于点C右侧），且CD=2，求AC+CD+DB的最小值
解：将点A向右平移两个单位得到点A'，则AA'=CD，且AA'//CD.
所以四边形ACDA'是平行四边形，则AA'=CD,AC=A'D（如下图）
则AC+CD+DB的最小值就转化为AA'+A'D+DB的最小值
因为CD是定值，即AA'是定值，所以只需求出A'D+DB的最小值即可，这样就转化为典型的“将军饮马”问题。
作点B关于x周的对称点B'，连接A'B'.
A'B'和x轴的交点即为点D的位置.
分别表示出点A'和点B'的坐标，进而求出线段A'B'的长度.
A'B'+CD即为所求的最小值.
【变式二】如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E，F分别为BC，BD上的动点，BE=DF.则AE+AF的最小值为 .
分析：本题要求AE+AF的最小值，读题可知，点E，F都是动点，是一定两动两直线，而将军饮马问题是典型的两定一动问题.如果能在平面内找到一个定点G，使得EG=FA.则EA+FA的最小值问题就转化为EA+EG的最小值问题，这样两动一定问题就转化为我们熟悉的两定一动问题。
解法一：在BD上截取BG=AD，如下图:
易证△ADF≌△GBE（SAS），所以AF=GE.
由此AE+AF的最小值转化为AE+EG的最小值.
这是一个典型的两定一动一直线问题
作点G关于BC的对称点H，则EG=EH
所以AE+AF=AE+EG=AE+EH
连接AH.AH<=AE+EH
AH即为AE+AF的最小值.
解法二:根据解法一，我们也可以这样做.
在BC的右侧作∠CBH=∠ADF，且BH=AD.
易证△ADF≌△HBE，所以GE=AF
由此AE+AF的最小值转化为AE+EH的最小值，
易知当A、E、H三点共线时，AE+EH最小，即AE+AF最小
最小值为线段AH的长度.
前面两种解法，都是以点E为公共端点进行转化.当然我们也可以转化为以点F为公共端点.
解法三:如下左图，过点D作DG⊥BD，在垂线上截取DG=AB.
又因为DF=BE
所以△DFG≌△BEA（SAS）
所以FG=AE.
则AE+AF的最小值就转化为AF+FG的最小值
由两点之间线段最短可得，AF+FG>=AG,当A、F、G三点共线时取等号.
所以AE+AF的最小值为AG.
解法四:过点D作DG⊥BD，在垂线上截取DG=AB.
则△DFG≌△BEA（SAS）
所以FG=AE
此时AE+AF的最小值转化为AF+FG的最小值.
作点G作BD的对称点H（如下图），则FG=FH.
AH<=AF+FH
所以AH的长度即为AE+AF的最小值.
解法五:过点F作FG⊥AD于点G.
【练习】
1、如图，AD是等边三角形ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，求BF+CE的最小值.
2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠BCD=60°，BC=1,M，N分别为AB、CD上的两个动点，且BM=CN，当BN+CM最小时，求线段CN的长度.
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