解题技巧:妙用伸缩变换化椭为圆

重庆市永川北山中学校 黄基云

椭圆

在伸缩变换

下变成了圆x′2+y′2=1，直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)在伸缩变换

下仍然变成直线l′：aAx′+bBy′+C=0(AB≠0)，其斜率

用圆的性质来解决直线与椭圆问题，解法简便快捷.

一、直线与椭圆的位置关系问题

例1 判定直线3x-2y+3=0与椭圆

的位置关系.

解：作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，直线的方程变为6x′-2y′+3=0.

因为圆心O′(0，0)到直线6x′-2y′+3=0的距离

(单位圆的半径)，所以直线与单位圆相交，于是直线3x-2y+3=0与椭圆

相交．

评注：利用单位圆中圆心到直线的距离和半径的大小关系来判断椭圆和直线的位置关系.设直线为Ax+By+C=0(AB≠0)，椭圆为

则直线与椭圆相交等价于a2A+b2B-C2>0；直线与椭圆相切等价于a2A+b2B-C2=0；直线与椭圆相离等价于a2A+b2B-C2<0.

二、直线与椭圆的最值问题

例2 在椭圆

上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.

解：作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，直线的方程变为3x′+4y′-10=0.

所求问题可转化为：在单位圆上求一点M′，使点M′到直线3x′+4y′-10=0的距离最小，并求出最小距离.

因为过圆心O′(0，0)与直线3x′+4y′-10=0垂直的直线的方程为

它与单位圆的交点为

所以

到直线3x′+4y′-10=0的距离最小，于是椭圆上的点

到直线x+2y-10=0的距离最小，最小距离为

评注：这是人教版4-4上的一道例题，常规思路是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，也可以用向量的方法求解.

三、直线与椭圆的中点弦问题

例3 已知椭圆

+y2=1.

(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

(2)过点A(2，1)的直线l与椭圆相交，求直线l被截得的弦的中点轨迹方程；

(3)过点

且被P平分的弦所在直线的方程.

解：(1)作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，斜率为2的直线变为斜率为

的直线.

所求问题可转化为：在单位圆中求斜率为

的平行弦的中点轨迹方程.

设中点为P′(x′，y′).直线O′P′的斜率

即

所以所求轨迹方程为

(2)设过点A(2，1)的直线l的方程为y-1= k(x-2).

作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，A(2，1)变为

直线l的方程变为

所求问题可转化为：过点

的直线l′与单位圆相交，求直线l′被截得的弦的中点轨迹方程.

设中点为P′(x′，y′).直线O′P′的斜率

则过点

的直线l′被截得的弦的中点轨迹方程为

即

所以所求轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(夹在椭圆内的部分).

(3)作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，点

变成点

所求问题可转化为：求在单位圆中过点

且被P′平分的弦所在直线的方程.

直线O′P′的斜率

过点

且被P′平分的弦所在直线的方程为

即

所以所求直线方程为2x+4y-3=0.

评注：原来弦的中点，变换后仍然是弦的中点；过椭圆

内一点P(m，n)引动弦的中点的轨迹方程为

设P(m，n)为椭圆

内一定点，过点P且以点P为中点的弦所在直线的方程为

(当n≠0时)或x=m(当n=0时).

四、直线与椭圆的相交弦问题

例4 已知椭圆

直线

是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆x′2+y′2=1，直线l的方程变为

因为在原坐标系中有|OQ|·|OP|=|OR|2，所以在新的坐标中|O′Q′|·|O′P′|=

仍成立.

设以O′x′轴为始边，O′P′为终边的角为θ.令|O′P′|=r，则P′(rcosθ，rsinθ)，则

而|O′R′|=1，所以

设Q′(x′，y′).

则

即

①2+②2可得点Q′的轨迹方程为

(点Q′不与原点O′重合).

把

代入上式即得点Q的轨迹方程为

故点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长半轴长为

短半轴长为

且焦点在直线y=1上的椭圆(除去原点)．

评注：上述给出的解法充分利用在新坐标系下“|O′R′|=1”，极大地简化了计算.其实，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)在伸缩变换

下变为点P1′(x1′，y1′)和点P2′(x2′，y2′)，则

其中k为直线P1P2的斜率.

五、直线与椭圆的相切问题

例5 已知点P(x，y)在椭圆

上运动，求

的最大值.

解：作坐标变换

则在新坐标系x′O′y′中，椭圆变成单位圆

所求问题可转化为：P′(x′，y′)是单位圆x′2+y′2=1上的动点，求

的最大值.

设A(2，0)，则u即为直线AP′的斜率k.

设过点A的圆的切线为AB、AC(B、C为切点)，则

当点P′和点C重合时，k取最大值

即当

也即当

时，

评注：本题的常规解法是用椭圆的参数方程及三角函数求极值的方法求解，或化为椭圆上的点和定点A(2，0)的连线的斜率的最值求解，但运算相对比较复杂．

一般情况下，解决直线与椭圆问题时，需要联立求解，用韦达定理求解出x1+x2或x1x2，较为烦琐，把椭圆变成圆以后，我们就可以利用圆的一些几何性质来解决直线(直线伸缩变换后仍为直线)与椭圆的相交或相切问题，计算也会大大简化.值得注意的是伸缩变换后同一直线上或平行直线上的两线段长度比不发生改变.两图形经伸缩变换后交点个数不变，也就是说，原图形若相交，则变换后仍相交；原图形若相切，则变换后仍相切；原图形中若是弦的中点，则变换后仍是弦的中点.