【数学】求解函数问题最常用的9种方法

1.配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简.何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”. 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.

【点评】 本题通过配方,简化了所求的表达式.巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开.

2、换元法

换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.

【点评】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S＝x ＋y 与三角公式cos α＋sin α＝1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路,设x ＝ ＋t、y ＝ －t,减少了元的个数,问题得以简化.
   3. 反证法

   反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行逻辑推理，得到与已知条件、公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.

 

【点评】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑,有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”“补集法”（全集R）,也可以从正面直接求解,即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围,再将三个范围并起来,即求集合的并集.两种解法,都要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.

4.参数法……

5.等价转化法……

6.分类讨论法……

7.判别式法……

8.数形结合法……

9.函数与方程的思想方法……

“集合与常用逻辑用语、函数与导数”等更多精彩内容，如数学名师为你精选的最新高考靓题、模拟新题，原创最具代表高考最新方向的“高仿题”，还有“巧用导数妙解8类高考热点问题”“揪出导数高考题之‘源’”“五个‘一’妙解函数图象问题”“构造函数应顺势而为”等.请详见2013《试题调研》数学第1辑，它360度全方位地对这部分知识进行解读，对高考考查的最热点进行多角度、全方位的剖析，为你的备考精准定位，让你在年年变化的高考中立于不败之地.