数论领域下有一大分支叫丢番图方程:有一个或者几个变量的整系数方程,它们的求解仅仅在整数范围内进行。
问题至少可以追溯到1825年,数学家想知道,如果给定整数K,是否存在整数X、Y、Z,满足:
X^3 + Y^3 + Z^3 = K。在这里,K具体取值33。
前几天,Andrew发表了一篇题为Cracking the problem with 33的论文(超链接为论文PDF),解释了他是如何在K=33时,寻找到了方程的解。即使动用了复杂的数学工具来缩小可能解的范围,计算机搜索仍然需要一段时间:“超算在三周里的总计算量接近过去15年里的实际计算量。”
Alex Kontorovich在Twitter上解释了这一进展的重要性。
哪些自然数可以表示成三个整数的立方和,这一问题是现代分析数论的祸根;它令人如此尴尬,以至于我们无法理解数字与数字之间到底有什么本质区别。经过长时间的努力,对于100以内的数字,我们统统找到了解——除了33和42。
现在只剩下42了!
数学家Bjorn Poonen早已证明,对于一般的K,问是否存在X、Y、Z,满足X^3 + Y^3 + Z^3 = K属于不可判定的问题。也就是说,我们只能对具体的K,尝试求解或证明其无解。
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