本文来自微信公众号:原理(ID:principia1687),作者:Takeko,视觉互动:雯雯子,题图来自:《奇异博士》
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毕达哥拉斯定理、计算几何图形的表面积和体积的公式、π……这些都是学校里教的经典几何的概念。或许可以这么说,经典几何与解析几何一道,精准地反映了我们人类所创造的世界。
然而,如果在自然的行为模式背后还有一种“更原始”的几何学呢?这种几何学更能反映出远早于人类存在的自然世界,甚至连我们的身体功能也离不开它。
上个世纪后半叶,人们开始用一种新的视角来解读发生在我们身边的自然过程,分形几何应运而生。
分形的关键特征是自复制。形状、节奏、声音或轨迹,所有这些现象都可以分解成自复制的结构。根据自相似的数学原理,相同的形式会按比例逐渐缩小,并无限重复下去,也就是说,在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式,依此类推。对于真实世界的物体而言,当尺寸足够小时,这种自相似性就会停止,但对理想化的数学模型而言,这种自相似可以一直持续下去。
是什么逻辑塑造了树枝的生长或者山峰的形状?风暴中闪电的路径、微生物的生长周期、星系中恒星的形成等等这些过程的背后,又藏着怎样的数学原理?分形几何让我们能够利用数学探索自然界中各种形式的“异常”,它似乎可以破解所有这些自然现象。
宝塔花菜是分形自相似的体现。| 图片来源:Unsplash
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“云不是球体,山不是圆锥体,海岸线不是圆形,树皮不是光滑的,闪电也不是沿直线传播的。”这是创造了“fractal”(分形)一词的数学家伯努瓦·芒德布罗(Benoît Mandelbrot)所说的话。
20世纪70年代,在美国的几所大学任教后,芒德布罗转去了IBM的实验室工作。他的工作需要找出远程通讯系统中存在白噪声干扰的根源。芒德布罗拥有非凡的视觉思维,他凭借敏锐的直觉发现了分形的数学基础。他分析了代表白噪声湍流的图表,并注意到无论图表涵盖的数据量是大是小,一天、一小时或一秒的数据总是拥有相同的模式。
芒德布罗借助了数学家皮埃尔·法图(Pierre Fatou)和加斯顿·朱利亚(Gaston Julia)的工作。法图和朱利亚研究了函数的迭代,它是数学中自相似原理的基础。
利用功能强大的计算机,芒德布罗通过对一个看似简单的方程z = z² + c的迭代,获得了最具代表性的科学图像之一——芒德布罗集(Mandelbrot set)。这种奇怪的不规则形状遵循着分形自相似的数学原理,并且是无限扩展的。如果仔细观察,边缘的图案在不断重复。
芒德布罗集的可视化。| 图片来源:Lars H. Rohwedder/Wikimedia Commons
几年后,芒德布罗出版《自然的分形几何》(Fractal Geometry of Nature),这部作品引起了人们的广泛关注,他随之被认为是一个新的知识领域的创造者。虽然在分形几何的诞生过程中,芒德布罗并不是唯一的科学家,但他利用计算机的力量重塑了以前的知识。
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作为一位“非正统”数学家,芒德布罗不仅发现了一个拥有美丽形状的新的几何维度,或是一种描述复杂的自然过程的方法,他还敏锐地意识到分形在许多科学领域都有巨大的用处。
如果确定了自然中的一种基本结构,并用分形几何的原理对其进行分解,就可以对这种结构未来的行为作出预测。如果原子间的相互作用是按照分形几何的自相似原理发生的,那么这一数学基础或许可以用来解释许多复杂的自然现象。从数学上来说,分形无法准确预测混沌系统中的重大事件将如何发生,但它们可以告诉我们,这些事件即将发生。
或许没有人知道,这种无限的智慧之源的极限究竟在哪里。
参考来源:
https://www.bbvaopenmind.com/en/science/mathematics/fractals-natures-geometric-code/
https://www.bbvaopenmind.com/en/science/mathematics/applied-fractal-geometry-from-climate-change-to-cancer/
本文来自微信公众号:原理(ID:principia1687),作者:Takeko,视觉互动:雯雯子
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