《小学生数学解题思维案例研究》结题报告
内容提要：传统的数学教学观点是教师传授数学知识，学生在课堂上的学习听命于教师的安排与灌输，只要求学生通过听讲与大量练习来巩固数学知识。数学教学的发展不仅要促进学生掌握基本的数学知识，更要注重发展学生解决问题的能力。数学教学应该是数学思维活动的教学。在小学数学教育中如何较好地掌握学生的“数学解题思维”，带着这样的问题，我们从以下三方面入手作了为期两年的研究：课堂教学中关注学生的思考过程，暴露学生的思维；运用开放题测试（或专项测试），分析学生的思维；撰写数学周记，培养学生的反思能力。
经过两年的研究，取得了初步成效：1、通过对课堂教学的研究，营造了良好的学习共同体，有效地提高了教师的能力，促使教师专业化发展；2、通过开放题测试，使教师了解学生数学认知策略的特点，从而更有效地展开教学；3、通过引导学生撰写数学周记，让学生在反思中体验成功。
关键词：小学生数学思维 课堂教学 开放题测试 数学周记
一、问题的提出
时代和社会的发展要求教育作出相应的变革，同时向数学学科提出了改革的要求。数学教学不再仅仅为了传递数学知识和技能，更重要的是要使学生通过数学的学习，接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，并将其应用到学习、工作和生活的各个领域中去。对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征。教育部在《基础教育课程改革纲要（试行）》中明确提出本次课改的六项具体目标中第一项就是课程功能的转变，即“改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的‘学习态度’，……”，强调要转变学生的学习方式，更多地关注学生学习的过程与方法，改变过去“更多关注的是学习的结果，而忽略了学生它是通过什么样的学习方式和策略来学习的”，指出“关注学生学习的过程与方式是引导学生学会学习的关键。”基础教育阶段的数学课
程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。不仅要考虑数学自身的特点，更课题组组长：钱再祥 执笔：邱晓军
课题组成员：张静波、裘美芳、吕 萍、竺新波、应海江、钱 满
应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。我们完全有理由相信，随着课程改革的发展，在大力倡导“自主探索、动手实践与合作交流”等学习方式的同时，同样需要将更多的关注投入到学生的学习过程和方法中，去研究“学生是怎样去学习数学、去理解数学的”；去观察“在学生面对一个具体的数学问题时是如何去思考和活动的”；去发现“不同的学生在解题思维上有怎样的差异”；去挖掘“不同年龄层次的学生已经具备了哪些数学事实和经验”。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻。
思维就是在解决问题的过程中，人脑里限于意象、符号以及用符号表示的命题的没有外观的内部操作活动。“数学解题思维”就是在小学生面临某个数学问题时所作出的对问题答案、现象的解释或动作，及从中暴露出的思维结构和认知风格。具有数学地思维的头脑，不但能掌握数学，更使人们能批判地阅读、判断真理，识别谬误、分析偏见、估计风险、审时度势，信息社会需要具有数学头脑的人才。研究表明，8－18岁，大脑正在成长发育，求知欲旺盛，正是打好数学基础的极好时机，教师必须珍惜基础教育阶段，为培养学生的数学头脑尽最大的努力。传统教学观单纯地强调传授知识，其忽视学生能力（特别是思维能力）的缺陷，在科技迅速发展，知识不断增加的今天，越来越显得突出。关注学生数学思维能力的发展已经成为一个迫切而严峻的话题。
在数学教育中，历来存在两种策略思想，一是“以多取胜”，另一是“以少御多”，“以多取胜”导致“题海战术”泛滥，在激烈竞争的应试教育势态下，多数教师不得不搞“题海”，对于习题集，A、B卷的泛滥，是我国数学教育中的“怪圈”，不言而喻，人们心目中对数学思维能力的理解仅仅局限于解题能力。认为培养数学思维能力只要研究解决教学法就可以了。建构主义学习理论则在如何看待知识、如何理解学习、如何看待教师和学生等问题重新作了重要诠释，提出“知识并不是说明世界的真理，而是个人经验的合理化”，“学习活动不是由教师向学生传递知识，而是学生根据外在信息，通过自己的背景知识，建构自己知识的过程”等。
在逐步推进课程改革的今天，虽然有许多数学老师已经学了不少的教育教学理论，而且都有迫切的愿望“想在教学中发挥学生的主体作用，让学生主动参与数学学习获得发展”，然而，在现实数学教学中却仍不能真正实现。反观大量的课堂教学，很多时候依然会发现以下现象：
1、教师不自觉地在扮演着“传授者”的角色，向学生传授知识，教学形式无非由“满堂灌”改为“满堂问”；
2、面对某个数学问题，教师以为已经解释的非常清楚，学生却仍未能理解；
3、面对某个知识内容或数学现象，教师以为非常容易理解，学生却难以理解或理解不同。反之，学生认为正确的，教师却未能赞同；
4、教师未能根据学生的思维反应及时调整课堂教学进程，而只会一如既往地执行既定教案。
这是为什么呢？我们认为这主要是因为许多数学教师未能“蹲下来” 理解小学生的“解题思维”，未能了解小学生在面对一个具体的数学问题时是如何思考和理解的？是如何投入学习活动的？它们和成人的思维方式究竟有哪些不同？这应该说是当前小学数学教学中普遍存在的一个困境。小学数学教师如果能较好地掌握学生的“数学解题思维”，则一定能够对自身的教学观念和教学方法有新的反思和理解，会寻找到新的方法以求改善，这实际上对于小学数学教师的专业发展也具有重要意义。
那么，在数学教育中如何较好地掌握学生的“数学解题思维”，从而达到提高数学思维能力开发脑潜能的目的呢？我们带着这样的思考对此作了探究。
二、研究过程
1、前期研究：制订方案，论证立项。在此研究阶段，课题组成员组织教师回顾、调查课堂教学现状，并对此作认真的分析与研讨。充分认识灌输式教学对学生发展造成的危害，特别是对学生创新精神和实践能力的发展造成的不良影响，从而明确课题研究的方向、目的和价值。
2、中期研究：实施研究，分析整理资料。在这一研究阶段，我们重点以课堂教学展示活动和对学生开放题测试、引导学生写数学周记为抓手，推进课题研究。通过课堂教学展示活动，从不同的角度、不同的侧面展示情况，供大家评析和研讨；通过开放题测试，了解不同年级的学生的解题策略有什么异同，通过对测试结果的分析、比较和研究，进一步得出对小学数学教学的启示；通过引导学生写数学周记，架起数学世界和生活世界的桥梁，使学生形成知识网络，加深对知识的理解和掌握，促进学生对自己认知加工过程的自我察觉，自我评价和自我调节，使学生学会反思、学会学习。在这一阶段，我们还通过每学期的优秀论文、优秀案例评比活动，督促教师平时的课题研究，提高教师分析、提炼、总结的能力。
3、后期研究：总结研究成果，撰写结题报告。在这一研究阶段，主要分析整理过程材料，提炼并展示研究成果，完成结题工作。
三、研究措施、方法和内容
前苏联数学教育家斯托利亚尔认为：数学教学应该是数学思维活动的教学。培养学生的思维能力，学会数学地思维，是当前小学数学教学所要研究的一个重点，也是使孩子们越学越聪明的根本出路。
在我们的教学中，很多时候把探究部分轻易转化为复现部分，复现部分的教学是显性的，是可以通过步骤来传授的；而探究部分的教学如果也变成可传授的语言，那就失去了思维教学的意义了。思维主要是靠启迪，而不是靠传授，越是传授得一清二楚，学习者就越不需要思维。要使教学过程成为思维活动的教学，就要为这种活动创造良好的条件。那么如何为学生的思维发展创造条件呢？在研究过程中，我们开展了以下几项工作：
（一）关注思考过程，暴露学生的思维。
现代教学教育理论认为：数学是思维活动的过程与结果的统一，也是一个从外感到内化的交互作用的过程。数学教学最本质也最显著的特点在于它所传输的信息不仅仅是数学活动的结果，即数学知识，而且还包括数学思维活动的过程。基于这样的认识，我们课题组的老师，在课堂教学中特别关注以下几点：
（1）加强操作说理
动手操作是数学学习活动的一种手段，目的是更好促进学生对数学的理解。会用数学语言、符号等进行表达和交流。瑞士心理学家皮亚杰指出：“学生的知识来源于动作，而非来源于物体。”这就是说，学生的智慧是在实践中产生和发展的，学生通过动手操作可以获取大量的感性知识，为思维提供支柱。学生在数学学习活动中能主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等发现对象的区别和联系。因此，在数学教学中，教师应该有针对性地设计操作性活动，并尽量为学生提供足够的思考时间和研讨的空间，鼓励他们去探索，让学生在主动探索的过程中获得成功的体验，在做中感受学数学的乐趣。
如：教学“圆的面积计算公式”一课时，我校张静波老师是这样设计的。
1、让学生说说，在学习平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式时，是怎样得到它们的面积计算公式的。
2、学生观察自己带来的半径为3厘米的圆，猜测一下圆的面积大约是多少。
3、让学生猜测：圆可以转化成哪一种已学的图形？怎样转化？
4、学生操作实践。
5、运用学生转化成的三角形、平行四边形、梯形……推导出圆面积的计算公式。
学生在整个“做”的过程中，充分动手、动脑，手脑并用，整个学习活动是随学生的学习需要而动态展开的，学生在实际操作中发现了规律，找到解决问题的方法，真正成为学习的主人。
（2）注重比较辨析
“两刃相割，利钝乃知；两论相订，是非乃见”，有比较，才有鉴别。因此在教学中我们课题组老师在课堂教学中总是有意识地创设比较辨析的思维情境，让学生在比较辨析的思维情境中，深化解题思路，发展思维品质。
如，我校钱满老师在教学“稍复杂应用题”时，有一组练习题是这样设计的：
（1）学校买4个篮球用去88元，买一个足球用去35元，一个足球比一个篮球贵多少元？
（2）玩具厂原来6天生产2330辆玩具汽车，技术革新后每天生产570辆，现在每天比原来多生产多少辆玩具汽车？
（3）一辆汽车每小时行75千米，一列火车5小时行460千米，火车每小时比汽车快多少千米？
这三道题目内容不同，但都是“先把一个数平均分成几份，再求两数相差”的应用题，在解题中，启发学生撇开“买篮球、足球”、“生产玩具”等具体内容，突出数量关系，把实际问题抽象成数学问题，进而根据数量之间的相应关系，将买东西问题、生产问题、行程问题相互改编，通过不断训练，发展学生的抽象概括能力。
（3）关注多向思考
面对同一道数学题，有些学生仅仅满足于一解，甚至一筹莫展，出现解题思路的僵化现象。相反，有些学生却能从多角度、多侧面地展开条件之间的沟通与联系，发现众多新信息，使解题思路呈现活跃状态，进而获得多解和优解，使学生思维的深刻性、敏捷性，灵活性等优良品质得到充分的发展。
我们在教学中，关注让学生解答顺向题，也关注让学生解答逆向题，既关注发展学生的定向思维，又关注发展学生的多向思维，指导学生从不同角度用不同的思路去解答。
如在数学综合实践活动课中，邱晓军老师是这样做的：
案例：这节数学综合实践活动课是让学生设计游览方案。我依次出示游览券价格表和需要游览券张数表，分别让学生质疑：看了表格你有什么不明白的地方？
游览券价格表 需要游览券张数
| 门 票 | 游览券 | |
| 成人10元 学生6元 | 每张2元 10张16元 | |
| 联 票 | 包括门票和5张游览券 成人18元，学生14元 | |
|
|
|
|
| 参观点 | 张数 |
| 鹿场 | 1 |
| 水族馆 | 1 |
| 猴山 | 1 |
| 百鸟林 | 1 |
| 钓鱼池 | 1 |
| 活动点 | 张数 |
| 迷宫 | 2 |
| 骑马 | 2 |
| 缆车 | 2 |
| 高架车 | 3 |
| 过山车 | 3 |
待学生质疑并让同学作出解释后，我接着出示问题：星期天，老师带4位小学生去动物园游览，小敏想参观猴山、钓鱼池、坐高架车、玩迷宫，怎样购票比较好？先让学生独立思考，然后组织学生汇报。
生1：“我考虑小敏要买1张门票和7张游览券，所以，列式为6＋7×2=20元。” “我有不同意见！”这时许多同学都大声嚷起来。
生2：“我有比他更省钱的方案。”他顿了顿接着说：“我考虑买联票，1张门票和5张游览券是14元，再买2张游览券只要付4元，一共是18元。”“对！”同学们齐声欢呼。他得意地看了看大家，高兴地坐下了。
师：“对！如果买联票比门票和游览券单独买更省钱，所以我们在平时的生活中，遇到实际问题时，一定要多动脑筋，这样不但能节省钱，而且还能使我们变得更聪明。” 我正想出示第二个问题，可这时平素数学成绩并不理想的张蓓尔同学，依然高举着手，嘴里叫着：“老师，我还有一种设计方案！”其他同学都用奇怪的目光注视着她，我犹豫了片刻，觉得不应该打击她的积极性，还是让她来说说。
张蓓尔：“我的方案是买1张门票和10张游览券，列式为6＋16=22元。”这时许多同学纷纷嚷起来：“这太浪费了。”
生：“我认为这种方案不合适，因为小敏只要买7张游览券就够了，他买了10张，不是多浪费了3张游览券吗？”
面对同学的质问，我笑着对张蓓尔说：“别人都对你的方案有意见，你能说明你设计的方案的理由吗？”
这时的张蓓尔已经满面通红，她站起来激动地说：“我家在农村，很少有机会去动物园，如果我是小敏，我会多选择几个景点去玩，这样虽然多花了4元钱，但能多玩几个景点，我认为还是合算的。”
生：“我也同意张蓓尔的意见了。”这是刚才持反对意见最强烈的钱柯同学，“因为题目中说有5个人去玩，那小敏就可以把多买的3张券，再卖给其他同学，那不就只要16元钱了吗？”这时教室里响起了热烈的掌声……
小学生不同的家庭条件以及不同的生活方式，对他们的思维方式、思想观念有着极其深刻的影响。于是，在课堂上的答案也就变得丰富多彩，我们有责任来保护孩子们独创的幼芽，这就需要我们关注学生的真情实感，尊重学生的判断，重视学生的知识经验，对他们有更多的理解和宽容，要不断地赞赏学生独特的、富有个性的理解，珍惜他们丰富的想象，从而引领他们更加自信地在课堂上张扬自己的个性，培植他们健康个性和健全人格。
（二）运用开放题测试（专项测试），分析学生的思维
解决一个数学问题时学生常常有自己的解题策略，对同一年龄段的学生来说，他们的解题策略既有共性又有个性。但当学生去解决某一个数学问题时，他们到底会运用怎样的解题策略，采用不同策略的学生人数各有多少，这些问题并不十分清楚。
1、开放题测试：我们从教材中及课外资料中精选了一些问题，对小学四至六年级的学生进行测试，并从学生的解题中发现学生的解题策略，并分析学生解题策略的心理特征。
如：小学生解决“比较异分母分数的大小”问题的策略的研究
一、问题的提出
我们知道比较两个分数的大小有不同的方法。本文试图研究六年级学生在比较两个异分母分数的大小时，会运用哪些解题策略,男女学生之间有无差异。
二、测试的问题、对象和过程
1、测试的问题
比较分数的大小：你能用哪些方法来比较 和的大小？
2、测试的对象
测试对象选取了六年级五个班的学生，共210人，其中男生112人，女生98人。这五个班均使用《现代小学数学》教材。
3、测试和访谈过程
某天中午，在学生不知情的情况下，由原任数学老师协助组织进行测试。在测试前，没有给学生任何的解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答，测试时间为20分钟。学生在解题过程中，没有任何的讨论与交流，整个测试过程基本反映了学生独立地在自然情景下解答这个问题的水平。测试后，我们对学生的解题情况进行初步整理，在整理的基础上，分别选择了用1－6种方法和7种方法解题的学生（共30人）进行了访谈。
三、测试结果及分析
1、正确率分析。
表1学生解题正确情况统计表
| 策略总数 | 做的人数 | 正确率 | ||||
| 男 | 女 | 合计 | 男 | 女 | 合计 | |
| 1种策略 | 28 | 18 | 46 | 71.4%（20） | 77.8%（14） | 73.9%（34） |
| 2种策略 | 24 | 32 | 56 | 91.7%（22） | 84.4%（27） | 87.5%（49） |
| 3种策略 | 30 | 26 | 56 | 86.7%（26） | 80.8%（21） | 83.9%（47） |
| 4种策略 | 16 | 15 | 31 | 100%（16） | 86.7%（13） | 93.5%（29） |
| 5种策略 | 7 | 4 | 11 | 85.7%（6） | 75.0%（3） | 81.8%（9） |
| 6种策略 | 5 | 2 | 7 | 100%（5） | 100%（2） | 100%（7） |
| 7种策略 | 2 | 1 | 3 | 100%（2） | 0%（0） | 66.7%（2） |
(说明：正确率=对的道数／做的道数×100％)
从表1可知，学生采用的解题策略的数量和正确率是不相同的，而且有着较大的差异。用1种策略的学生有46人，占总人数的21.9%，说明这部分学生的解题策略是比较单一的，解题的正确率也偏低，只有73.9%，还有5.7%（12人）的学生不能正确解答这道题。在这5.7%的学生中，有二名学生会通分，但同分母分数大小不会比较；五名学生在通分时计算出现错误；还有五名学生知道这道题可能化成同分母分数来比较，但不会通分。男女生在解题策略的数量和正确也存在着一定的差异。采用4种策略以下的女生的正确率是81.6%，男生的正确率是82.9%，正确率男生略高于女生。采用4种和4种以上策略的男生的正确率是96.7%，女生的正确率是81.8%，正确率是男生明显高于女生。
2、学生的解题策略已呈现出多样性。
通过对学生测试卷的分析，我们发现学生的解题策略是多样的。学生在解决上述的测试题时，主要有以下几种策略：
策略一：“通分法”。把和化成同分母分数来比较。
＝， ＝， 因为＜，所以＜。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有202人，占总人数96.2%，其中在计算时出现错误的学生有18人，占采用这种策略人数的8.9%，知道方法而不会通分的学生有15人，占7.4%。
相对于其他策略来讲，这种策略的计算过程是复杂的，而采用这种策略的人数是最多的，并且采用这种策略的学生中只有一名学生第一种方法不是采用这种方法的。笔者访谈了8名学生，访谈记录如下：
师：你为什么第一种方法就采用通分法？
生1：用通分做简单。
生2：老师讲过的。
生3、生4：平时一般是用通分来做。
生5：老师都用通分来做。
生6：通分用的多。
生7：以前比较分数大小，都用通分做。
生8：上课时，基本上是用通分来做。
执教老师他们一致认为出现这种现象是正常的。因为原《现代小学数学》教材在教“通分”这个概念时，就是以“两个异分母分数大小比较”引入的，而且在教学“两个异分母分数大小比较”时，提供的策略也是这种策略。从上面的访谈中不难发现，学生在解决数学问题时采用的策略与教材提供的策略和教师平时采用的策略有着密切的关系。
策略二：“化小数法”。把和化成小数来比较。
≈0.94， ≈0.95， 因为0.94＜0.95，所以＜
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有112人，占总人数的53.3%，其中在计算时出现错误的学生有17人，占采用这种策略的人数的15.2%，知道方法而不会把分数化成小数的学生有8人，占采用这种策略的人数的7.1%。
在访谈中，发现有一部分学生认为，只有能化成有限小数的分数才可以采用这种策略。笔者问学生：“你是怎么知道的？”学生说：“我们老师在做这样的题目时说过，只有能化成有限小数的分数，才化成小数来比较。”
策略三：“通分子法”。把和化成同分子分数来比较。
＝， ＝， 因为
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有68人，占32.3%，其中在计算时出现错误的学生有8人，占11.8%，知道方法而不知道怎么运用的学生有3人，占4.4%。
策略四：“与1比较法”。把两个分数分别与1去比较求出它们与1相差多少，从而确定原来数的大小。
用1分别减通过对剩余数的大小比较，来比较原分数的大小。
1－ ，1－， 因为，所以。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有60人，占28.6％。
策略五：“关系比较法”。用分母与分子的关系进行比较，即两个真分数的分子和分母分别是相邻的自然数，分母大（或分子大）的分数大。
因为17和18是两个相邻的自然数，20和21是两个相邻的自然数。20＞18（或21＞17），所以。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有45人，占21.4％。
策略七:：“扩整法”。把分数扩大成整数后进行比较，即用两个分数的分母18和21的公倍数分别去乘这两个分数，使分数都扩大同样的倍数，变成整数。整数大的，原分数较大。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有15人，占7.1%，其中在计算时出现错误的学生有5人，占33％。
策略八：“倒数法”。用倒数进行比较，即分别求出的倒数，比较所得倒数的大小，倒数大的，原数反而小。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生7人，占3.3％。
策略八：“求差法”。用两个分数相减来比较。
因为
在测试的学生中，采用这种策略的学生有8人，占3.8%。
策略九：“比值法”。用求两个分数的比值来比较，即求两个分数的比值，当比值大于1时，作为比的前项的分数大。反之，当比值小于1时，作为比的后项的分数大。
在被测试的学生中，采用这种策略的学生有4人，占2.3%。
策略十：“化百分数法”。把
在被测试的学生中，采用这种策略的有4人，占1.9%。
学生在解决这一问题的过程中，出现了以上10种策略。可见，如果每名学生都是独立思考的，大家就会从各个角度去思考，不可能都思考到一条路上去，更不可能全体学生只提出一种方法。
四、对小学数学教学的启示
从上面这个问题的测试和分析中，我们可以得到对小学数学教学的几点启示：
1、小学数学教学内容的选择要适合学生的年龄特征，选择的数学问题要具有挑战性，避免让学生做机械重复的练习题，要激发学生学习数学的兴趣。
2、小学数学教育要提倡解决问题的策略多样化，要使学生养成用不同的方法去解决同一个数学问题的习惯。
3、小学数学教育要承认学生的差异，尊重学生的个性，让学生重视与同伴的交流，培养学生比较各种解题方法不同特点的能力，让学生在交流和比较中找到适合自己的解决问题的一种或者几种方法，使不同的学生得到不同的发展。
4、在教学中适度地引进开放题，对培养学生学习数学的兴趣将有一定的帮助。
五、进一步讨论的问题
1、解决这个数学问题时，学生找到了10种策略，在这10种策略中是否存在着最基本的、所有的学生必须都要掌握的策略呢？
2、如何能使学生体会和意识到这10种策略之间的差异？
2、专项测试：
对小学五年级学生数学计算能力测试的分析与研究
在2005年5月，我们组织了一次五年级学生计算能力测试。并对试卷的命题，学生测试结果等方面进行了剖析，以期能从中发现问题，暴露问题，找出差距，从而对新课改下如何开展计算教学提出我们的思考，更好地促进课改走向深入。
一、测试试题题型分析
本次测试试题分六种题型，包括：直接写出得数、列竖式计算、用递等式计算、解方程、用简便方法计算、找规律计算。这些题型基本上涵盖了我们教材、课堂作业本等平时作业中常见的计算题的命题形式。而“找规律计算”这样的题型在平时的命题中并不常见，我们对此做了有益的尝试。
二、测试试题（附于文后）
三、测试试题命题意图
在总分为100分的试卷中，其中直接写出得数（12%）、列竖式计算（12%）、用递等式计算（24%）、解方程（12%）这样的题目为基本题，但题目中的数字出现了“除数是三位数的除法”以及“三位数乘三位数”，如：7.733÷370＝，（40.2×16.2×0.8）÷（0.8×81），这样的题目难度上略高于平时所做的计算题。用简便方法计算（32%）和找规律计算（8%）为能力题，题目中的数字相对于平时的作业，数字稍显复杂，如：4.7×9.99，但其解题思路类似于4.7×9这样的题目；如：“=”这样的题目解题思路类似于“1+2+3+4+……+40+41=”，还有两道题目需要学生通过转化法来解决，如：7.5×45＋1.5×25，999×222＋333×334，由于题目中没有相同的因数，不能直接根据乘法分配律进行简便计算。因此，整张试卷，立足基础，关注发展，寓挑战性、开放性于一体。
四、测试结果
| 项目 | 五（1）班 | 五（2）班 | 五（3）班 | 五（4）班 | 五（5）班 | 五（6）班 |
| 合格率 | 65.7% | 58.3% | 66.7% | 85.2% | 85.7% | 69.2% |
| 优秀率 | 8.6% | 12.5% | 13.9% | 25.9% | 17.9% | 15.4% |
| 平均分 | 66.0 | 62.0 | 66.1 | 73.5 | 68.1 | 66.7 |
（注：85分及以上为优秀，60分及以上为及格）
五、测试结果分析
整数、小数、分数四则运算是小学数学教学的主要内容之一，也是每个小学生必须掌握的最起码的基础知识和基本技能。虽然在课程标准中削减了部分内容，但培养学生准确、迅速、灵活的计算能力依然是小学数学的一项重要任务。本次测试后，我们选择五（6）班学生的试卷进行了认真仔细的分析，从学生计算出错的情况，暴露出学生在计算方面存在的一些问题，归纳起来主要有以下几个方面。
1、感知粗略，造成差错
小学生感知事物的特点是比较笼统、粗糙、不具体，往往只是注意到一些孤立的现象，而不容易看到事物之间的联系，因而头脑中留下的印象缺乏整体性。另外，由于计算题目的外显形式简单，本身没有生动的情景，对小学生缺乏强有力的吸引力，导致学生在计算过程中，观察不仔细，感知不全面，不精细，对于一些相似或相近的数据或符号容易产生感知失真，造成差错，致使把计算试题中的数字或符号抄错。如：
又如另一位同学，在计算的过程中，把10+250中的“+”错看成“×”，导致功亏一篑，前功尽弃（见右图）。
这样的问题，在我们平时的作业中屡见不鲜，许多教师都会冠之以“粗心”“马虎”的罪名，事实上，这些是由于学生感知粗略所致。
2、技能欠缺，形成知识性错误
小学数学中的概念、性质、公式、法则、定律等基础知识，学生只有在深刻理解、牢固掌握的前提下，才可能正确、灵活地加以运用，形成计算技能。从本次测试中发现，不少同学计算法则不够明确，计算技能不够扎实，简便运算不能举一反三。
●概念模糊不清
●基本口算不熟。
●计算法则错误
如：“13.58－（7.58－4.87）”这一题的正确率仅为41.7%，绝大部分同学都出现同样的错误（如右图）：
3、习惯不良，造成无谓失误
部分学生由于平时计算比较随便，如字迹潦草，草稿纸书写随便，计算前不注意审题，计算后不估算、不检查，导致计算中出现错误。
如：由于书写不规范，将132.3的小数点不小心擦去，以致于在接下来的计算中，将132.3看成了1323，导致计算出错（见下图）。
六、培养学生计算能力的策略
计算作为一种工具性技能，是人们面对日常生活和生产所须臾不可离的，同时也是进一步学习数学或其他学科知识所必需的；其次，计算作为一种探究性能力，是人们面对复杂的生活问题和社会问题进行探索与解决所需要的。各国在数学标准的制订时，也提出了明确的要求，如我们一直以为计算能力很差的美国，在“数与运算标准”中明确提出：理解运算的含义以及各种运算之间的关联；熟练地进行计算并能作出恰当的估算。如日本，“在计算方面，十分重视四则运算的意义、运算间的关系以及运算的性质及其应用的教学，多位数的四则运算方法要求学生们能由已学过的知识推想出来”。
本次测试，暴露出学生在计算教学中存在的诸多问题，那么在我们实际的教学过程中，通过怎样的途径才能有效地提高学生的计算能力呢？
1、加强口算
虽然提出了学生对于计算速度上的要求，但我们以为，这样的要求仅仅是对学生基本的要求，低年级的口算教学中，对于大部分学生而言，20以内加减法和表内乘除法一定要求学生达到脱口而出的熟练程度。即使到中高年级，也应该经常安排适当的口算练习，如加强学生分数、小数、百分数的互化；熟记一些分数与小数的互化值，以便提高计算速度；在学生掌握一些单一的基本口算后，教师要把各种类型的口算综合起来进行练习，特别是一些数值上容易混淆的题目，如“25×4”、“24×5”，“3+8.7”、“12―0.2”等，以提高学生抽象符号的适应性。
2、注重估算
估算在日常生活中具有广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生具有良好的数感，具有重要的价值。在平时的教学中，教师要不失时机地培养学生的估算意识和初步的估算技能。首先要使学生形成估算意识，鼓励学生在估算前通过估算预测计算结果，计算后用估算检验结果的合理性，这样做，有利于减少运算中的错误，培养学生对运算结果负责的态度；经常安排结合生活实际问题的估算活动，让学生体验估算在日常生活中的应用价值。其次，要使学生学会估算方法，形成估算技能。估算没有固定的法则，但其方法有一定的规律性，教师应组织学生交流估算方法，比较估算结果的误差，结合具体情境对估算方法进行评价，使学生积累经验，逐步掌握一些估算的方法，从而增强他们运用数及运算的灵活性。
3、注重让学生在探究中建构运算法则
要使学生对于运算法则概念清晰、准确，必须要突出运算法则的建构过程。在平时的教学中，要让学生主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、猜测、验证、推理、探索、交流等数学活动，使学生形成自己对数学知识的理解和有效学习，从而加深理解，以及准确明白算理。在新规则建立之后，应及时安排巩固练习、重点练习、对比练习、纠错练习、发展练习、综合练习等形式，以巩固和掌握新规则。
4、注重让学生从整体上建构知识体系
数学教材在编排学习内容时，考虑到学生的年龄特征，将许多具有内在联系的知识分册安排，这样的编排方式容易让教师和学生只看见孤立的点，学生所学到的知识往往流于琐碎、零星，不成体系。这就需要我们教师在把握教材时高屋建瓴，既要密切注意数学的外部联系，也要充分体现数学的内在联系，在日常教学中，及时引导学生从整体上去认识和把握数运算的知识结构体系，使前后不同阶段学到的知识能融会贯通起来，沟通这些看似割裂、点状的知识之间的内在联系。如在教学加法交换律（加法结合律）后，可以提出“在其它运算中有类似的情况吗”，从而与乘法交换律（乘法结合律）有机结合起来；如学习小数加减法和分数加减法后，应及时让学生明白，它们的表现形式不同，但计算方法与整数加减法的实质是一样，都是单位相同才能相加减，从而使学生整体认识和结构化把握知识，更重要的是，可以帮助学生建立起结构意识和结构化的思维方式。
5、注重对学生数学思想方法的渗透
数学是思维的体操。德国数学教育家栋科（Dunker）教授也强调，思维着的教学活动决定着学习的质量。新的学习理论研究也表明，学习如果过分依赖学习者的经验或感性认识，那么学习将会出现危险。因此，数学思想方法的渗透应该贯穿于教学过程的始终。在平时的教学中，我们既要注重在知识广度上的横向辐射，更要注重知识深度上的纵向挖掘。我们不能从内容上给学生加码，更要提高学生的思维质量，鼓励学生创造性地解决问题。教师有必要对学生加强逆向运用的训练并进行适当的推广运用。如在平时的教学中，对“乘法分配律”可以安排“（a―b）c=ac―bc”“(a+b+c)d=ad+bd+cd”等形式；让学生解答“7.5×45＋1.5×25”和“999×222＋333×334”这种需要转化的题目；让学生解答“1.25×88”、“1.25×208”这种既可以用乘法结合律又可以用乘法分配律的开放性题目，促进学生知识的迁移、知识的传播，促进学生认识数学的本质与作用。
6、注重培养学生良好的作业习惯
正确的作业态度和良好的作业习惯是计算正确的重要条件。因此，平时一定要注重学生形成良好的作业习惯。如：做题目之前能认真审题，对于容易出错的地方进行重点审题；做作业时，保持字迹端正、清楚；在使用草稿纸时，按照从上往下、从左往右的格式书写；做完作业后，要及时验算；对于作业中的错误，不但要及时订正，更要分析错误原因，力求从根源上解决问题。这样，持之以恒，才能逐渐使学生养成正确的作业态度和良好的作业习惯。
附：
逸夫小学二00四学年第二学期五年级计算能力检测
一、直接写出得数。（12分）
702－207= 0.15÷3＝ 931－139= 0.125×80＝
13.76+2.4= 0.36÷12＝ 4.7－1.83= 16－6.8＝
＝ ＝ ＝ ＝
二、列竖式计算。（12分）
7.9×0.68＝ 44856÷89＝
7.733÷370＝ 24.35－17.694＝
三．用递等式计算。（24分）
（58×12－360÷20）÷4 20.7－0.8×(8.06－0.4)
4.9×27－1830.4÷26 10.53－（6－96.96÷32）
（10.08－0.036×50）＋2.82 （40.2×16.2×0.8）÷（0.8×81）
四、解方程（12分）
12X－85=143 3X＋16＋5X=72
7.6－5X=1.26 25X－45×2=30
五、用简便方法计算,并写出计算过程。（32分）
13.58－（7.58－4.87） 63－5.2＋47.75－9
4.7×9.99 14.39×2.7+8.3×14.39－14.39
2.5×6.4×125 1.25×208
7.5×45＋1.5×25 999×222＋333×334
六、找规律计算：（8分）
1、=
2、=
第2题我找到的计算规律是：
（三）撰写数学周记，培养学生的反思能力
数学是一门非常重要的科学，我们数学教师除了教给学生数学知识之外，更重要的是让学生从数学学习过程中获得更有价值的综合素养。自然，在教学内容上注重数学思想，在教学过程中注重过程和方法，都是很重要的途径，但这些方面都有一个重要的前提――了解学生，特别是学生的思维过程和心理感受，自课题组开展课题研究以来，一直关注学生撰写数学周记。
在指导学生写数学周记的过程中，我们引导学生从以下几个方面入手去写。下面是已经发表的部分学生的数学周记。
1、写数学认知。学生掌握最基本的数学知识和数学技能是学生学习数学的主要目的，他们在课堂上学到了什么，理解了什么，掌握了什么，还有哪些地方不清楚，都可以写。通过写，有利于学生温故知新，加深学生对数学知识尤其是数学概念的理解和掌握，督促学生有目的地对知识点进行整理，便于学生重新对原有的认知结构进行改造，以实现新知的内化和重建，从而促进学生认知的进化，促进缄默知识向外显知识转化。
错误的启发
三（1）班 李铖煜
今天的数学课，我们学三步计算应用题。应老师先出示了一张表格：
| 名称 | 足球 | 篮球 | 排球 |
| 单价 | ４２元 | ６５元 | ３８元 |
| 数量 | ３个 | ４个 | ２个 |
接着，应老师叫我们根据这些信息提数学问题。其中有个同学提的数学问题是这样的：买3个足球和2个排球一共要多少元？
“我，我，我……”同学们都争先恐后地抢着回答：“42×3+38×2=202（个）
应老师微笑着，点点头表示赞同，就在这时，裘梦柯站起来回答：“我还有不同的解法，（42+38）×（3+2）。”
“这样行吗？”同学们七嘴八舌地议论开了，有的同学还动手算了起来。
“答案不一样的，这种解法是错的”王成大声喊到。
“足球和排球的单价不同，数量也不同，不能直接相加。”班长王琪安说到。
“能不能把每个足球的42元给每个排球2元呢？这样，每个足球和每个排球的单价不都是40元了吗？那么，排球和足球一共有（3+2）个40元，最后还有一个足球多2元，不就可以这样算：40×（3+2）+2”
我马上动手算了起来，“哇！”结果是正确的。我兴奋地举起了手，把我的想法大声地告诉了老师和同学，还告诉大家：这是裘梦柯错误的解法给了我启发。
我真高兴，原来错误也能给我们启发。
2、写数学活动。学生在写数学周记时，可以记录他在课堂上是怎样思考的，是怎样动手操作的；在小组讨论或全班交流时，自己是怎样说的，同伴是怎样说的，老师又是怎样说的；……学生写的过程，就是一个总结的过程，是一个向同伴学习的过程，一个自我鞭策的过程，是一个不断内化和提高的过程。
奇数？偶数？—— 一猜就中
四（1）班 裘佳妮
今天的数学课，数学老师破天荒竟没带备课本就来上课。他两手空空地走了进来，神秘地对我们说：“今天，我们玩一个关于数的奇偶性的小魔术。”然后顿了顿说：“请同学们先在你们的左右手分别写上一个奇数和偶数；再左手的数×3，右手的数×2；然后把两个得数加起来。告诉我最后的答案，我就能分辨出哪只手写得是奇数，哪只手写得是偶数。
同学们一听，可来劲了！在手上写好数后，争先恐后地让数学老师猜。我在左手写了6，右手写了7，6×3+7×2=32。我让老师猜，老师毫不犹豫的回答：“你左手写的一定是偶数，右手一定是奇数。”我简直不相信自己的耳朵。起先我以为老师是蒙的，没想到老师猜一个对一个。我想其中定有什么奥秘，可老师笑而不语。
我思前想后，最后，在老师的提示下，终于解开了其中的奥秘：两只手分别写着奇数和偶数，因此，只要判断一只手的奇偶性就行。右手不管写着什么数乘2后肯定是偶数，因此，只能先判断左手写的数的奇偶性。如果左手写的是奇数，乘3后还是奇数，再加上右手乘2后的偶数，结果肯定是奇数；如果左手写的是偶数，乘3后还是偶数，再加上右手乘2后的偶数，结果还是偶数。
原来，结果是奇数，左手写的一定是奇数，右手就是偶数；结果是偶数，左手写的一定是偶数，右手就是奇数。
回到家，我让爸爸妈妈按游戏规则做，接着我猜，结果——当然是百猜百中喽！
3、写数学思考。写数学思考，是学生数学周记的主要内容。学生可以从反思入手，反思学习态度，学习方法，学习习惯，学习兴趣，以及对同伴的要求，对老师的建议，也可从自己的疑惑开始，他们在课堂上有哪些问题还不理解，有什么疑问，有什么想法，让学生在数学周记中一吐为快。
用鸡兔同笼 妙解难题
四（1）班 马辰冀
今天，我遇到这样一道题目：某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元门票共200张，一共收入7800元，其中40元和50元门票的张数相等。求每种门票各售出多少张？
乍一看，觉得这道题目挺复杂，似乎一定要凑。“有没有更简单的方法呢？”我思考着，“能不能利用鸡兔同笼的道理来解答呢？”于是，我根据“40元和50元门票的张数相等。”这个条件，试着把它们都看作是45元的门票。如果这200张门票都是45元应收入9000元，这样比实际多收入了1200元，这1200元就是把30元看作45的原因，1200÷（45-30）=80（张），求出来的就是30元的门票有几张。（200-80）÷2=60（张）求出来的就是40元、50元门票的张数。
能做出这道难题，全靠鸡兔同笼问题帮的忙。
4、写数学应用。学生经常写应用型的数学周记，能极大地开阔学生的数学视野，拓展学生的数学能力，提高学生解决实际问题的策略水平。如学生在学习了平均数和统计的知识后，调查相邻五家居民半年来的用水、用电数据，通过计算、比较，得出哪家最节约，哪家浪费最严重，并提出合理化建议，他们能将整个经过全部记录下来。学生通过写应用型日记，激发学生学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心，促进学生主动地用数学的眼光去观察生活，思考生活，从而让生活问题数学化，让数学问题生活化。
足球比赛中的数学问题
四（1）班 应柬豪
最近，学校要举行四年级（4个班）足球赛。我想算一算一共要进行几场比赛。首先，我请教了体育老师，他告诉我：足球比赛一般采用单循环和淘汰制。所谓单循环比赛即在同一组中，每两个球队之间都要进行一场比赛；所谓淘汰制比赛即两队比赛一场，胜者进入下一轮比赛，败者淘汰。
如果采用“单循环”比赛。先让四（1）班跟四（2）、四（3）、四（4）班比，再让四（2）班跟四（3）、四（4）班比，最后让四（3）班跟四（4）比。如果用点表示球队，两点之间的连线表示两个球队之间的一场比赛。示意图如下：
列式为：3+2+1=6（场）
如果采用“淘汰制”比赛。先让四个班级抽签两两组合进行比赛，最后让两个胜者相比。
如果把4个球队依次编号为1—4，用下图表示比赛的场次和过程（图中“·”表示两队比赛的胜者）。列式为：2+1=3（场）
同学们，如果有6个，8个，10个班级，采用“单循环”和“淘汰制”比赛各需要比多少场呢？动手算一算吧！
5、写数学发现。数学发现是一种高级的数学学习活动，它往往是数学观察，数学思考的结果，但在教学实践中，更多的数学发现则是学生思维火花的迸发，是一种灵感的突现，是一种顿悟的表现，是学生长期进行数学思考，数学积累的必然反映。让学生经常记录课堂上的发现，有助于学生形成较好的数学思维能力。
有趣的角谷猜想
四（1）班 张凯力
今天的数学课，老师给我们玩了一个有趣的数学游戏——角谷猜想。真过瘾！下面就让我介绍给你们听听吧！
角谷猜想的内容是这样的：任意给一个自然数，如果它是双数就把它除以2；如果它是单数就把它乘3再加1……
“这样下去，经过运算后，你们猜，结果会怎么样呢？”老师神秘地问到。
这下，我们的好奇心马上被老师调动起来了，“结果到底会怎样呢？”我思考着。老师先拿同学说的一个双数30作示范：第一次除以2得15，15乘3再加1得46，接下去，23，70，35，106，53，160，80，40，20，10， 5，16， 8，4，2，1。“结果都会是1吗？”老师又和我们算了一个单数13，13乘3再加1得40，接下去20，10，5，16，8，4，2，1。“结果又是1”同学们更加好奇了，还没等老师说自己动手试一试，就自己找数字算了起来。
没过了一会儿，就有同学喊到：“快看我的”，“真的结果回到1”。我先找了几个简单的，很快就算到了1，接着，我找了个难度大点的99，可是，过了好一会儿，我怎么也算不完，我想：“一定要有耐心，没有耐心，什么也做不好。”想到这里，我又认真地算了起来。最后，终于算到了1，这可是花了我整整半张草稿纸，还用了7分钟时间。不过，最后能算到1，心里还是很高兴。
老师还告诉我们：曾有人用电子计算机对l～7万亿的所有数，进行了验算，结果都完全符合角谷猜想。
下课后我想：这节课应该是老师为了提高我们的口算能力才给我们玩的吧！
四、研究成果：
（一）、提高教师的综合能力，促使教师专业化发展
1、注重打造“学习共同体”。
新课程强调，教师是学生学习的合作者，引导者和参与者，教学过程是师生交往，共同发展的互动过程。自本课题实施以来，每一位课题组的教师对这句话的内涵有了更为深刻的认识。在课堂教学中，更注重师生互教互学，彼此形成一个真正的“学习共同体”，教学过程成为师生共同开发课程、丰富课程的过程，教学真正成为师生富有个性化的创造过程。
联合国教科文组织编写的《学会生存――教育世界的今天和明天》对未来教师角色是这样描述的：现在教师的职责已经越来越少地传递知识，而越来越多地激励思考，教师必须集中更多的时间和精力，从事那些有效果的和有创造性的活动；互相了解、影响、激励、鼓舞。而以上的描述，正成为我们课题组教师所倾心追寻的。在实施过程中，教师都能尊重学生的人格，关注个体差异，根据不同需要，创设能引导学生主动参与的教学情境，激发学生的学习积极性，培养学生掌握和运用知识的态度和能力，使每个学生都得到充分发展。
2、积极创生课程资源
为适应新课程的需要，教师新的技能应运而生，比如，搜集和处理信息的能力，课程开发和整合的能力，广泛利用课程资源，指导学生开展探究性学习的能力等等。新课程的实施，给我们课题组的教师提出了全新的挑战，但通过两年的实践，我们欣喜地发现，我们的教师从开始的被动地依赖教材、教参上课，逐步走向积极主动地、有创造性地利用一切可用资源，为课堂教学服务，引导学生走出教科书，走出课堂和学校，充分利用各种校外资源，在社会大环境里学习和探索。通过编制一些开放性试题，我们教师不仅会教书，还学会了编书。课题研究为实验教师提供了一个创造性发挥教育智慧的空间，在课堂教学中，创设生动有趣的情境，有机地将教材内容进行优化组合，有效地开展课堂教学更是成为教师的拿手好戏。每一节课教师都力求有创意地进行教学。
3、反思中迅速成长
教师课后反思自己的教学设计与课堂教学，记录自己的感受、心得，评价与再备课，总结积累教学经验，在新课程全面启动的今天，具有非常重要的意义。这既可以为今后的教学提供有益的借鉴，有利于优化下一节、下一轮的教学，又便于及时弥补教学中的“遗憾”和修正“失误”，不断充实自己的教学，切实提高教学水平和教学质量，我们要求课题组的教师每课反思，并通过每学期优秀案例、论文的评比活动，督促教师平时的课题研究，提高教师分析、提炼、总结的能力。
两年时间来，课题组教师在省级及以上刊物发表教改文章36篇，在全国级教师征文比赛中获奖3人次，在嵊州市级论文、案例评比中获奖20余次，在嵊州市级青年教师技能比武中获奖10余次，三位教师在嵊州市优质课比赛中获奖。
（二）、通过开放题测试（专项测试），使教师了解学生数学认知策略的特点。
在学习策略中，认知策略处于核心地位。学习策略水平的提高是认知策略发展的结果，通过课堂教学中的关注学生学习过程和开放题测试的分析，使我们对小学生数学认知策略特点有了更为明确的认识。
1、学生解题策略在多样性和单一性之间寻求平衡。
学生在解决数学问题的时候往往会有多种不同的策略。在获得策略的早期阶段，他们多使用单一策略，随着年龄的增长，他们的认知策略的多样性表现得十分明显，当策略使用渐趋成熟的时候，他们的策略又呈现出单一性的特点。小学生的数学认知策略在数量上经历了从单一到多样再到单一的过程，他们对数学认知策略的加工经历的是一个由“策略贫乏”到“策略丰富”再到“策略优化”的心理过程。
2、学生的解题策略在突变性和渐进性之间寻求平衡。
在学生所拥有的数学认知策略中，有的策略是他们自己生成的，有的是在教育教学中获得的，无论是自己生成的还是获得的策略，都会随着年龄的发展而不断的发展变化。策略数量有限的学生更易受教学干预的影响，当接受教学指导以后，更易发现新策略，表现出策略发展的突变性，而策略数量较多的学生具有较大的策略选择空间，他们在不断地比较新、旧策略有效性的过程中，提高策略发展的总体水平。
3、学生的解题策略的运用在稳定性和不稳定性之间寻求平衡。
学生在对多种数学认知策略进行优化选择的基础上，他们会在不同的问题和不同的情景中使用同一种策略，但在具体的教育教学实践中，我们却又经常发现当教给学生一种策略的时候，他们有的时候能使用这种策略，有的时候却又不能使用，但随着运用新策略解决问题经验的积累，他们对策略的运用会日益稳定。
（三）、数学周记，让学生在反思中体验成功
《全日制义务教育数学课程标准》指出：“评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学……对数学学习的评价要关注学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。”数学周记不仅可以评价学生对知识的理解，而且可用于评价学生的思维方式。通过日记的方式，学生可以对他学的数学内容进行总结，可以像和自己谈心一样写出他们自己的情感态度，遇到的困难或感兴趣之处。教师可以通过数学周记来了解学生，学生也可以在教师的评语中了解教师对自己的评价，进一步肯定或改进自己的学习行为。
数学周记让我们课题组老师和学生的心贴得更近了，从数学周记中得到的信息促进我们教师一步步地改进教法，去适应学生的学习；而学生在数学周记的影响下，更注重学习方法，反省自己的学习过程，给自己一个正确的评价，并在教师的肯定中得到快乐的信心。
学生的数学周记既有对所学知识的整理和总结，也有对课堂教学的理性思考，有对教师教学方式的探讨，还有用所学知识编成数学童话。通过写数学周记，发展了学生的认知水平。通过让学生撰写数学周记，给学生搭建了一个积累数学知识，丰富数学情感，拓展数学智慧，交流学习心得，沟通师生关系的平台，不少学生通过与教师之间这种书面的交流，对数学老师有了亲近感，一批中等生的成绩也有了很大程度的提高。写数学周记对不少学生的数学学习起到了良好的促进作用，使学生更加积极、有效地去解决数学问题，使学生更愿意积极地思考数学，使得学生学习数学成为一个愉快的过程。
近两年来，我们学校三到六年级的大部分同学都养成了写数学周记的习惯，在《小学生数学报》、《数学小灵通》等省级及以上刊物发表学生周记32篇。
五、课题研究给我们数学教学的启示
启示一：在数学教学中，我们要做到“前有孕伏”“中有突破”“后有拓展”
我们要能准确地评估儿童已有的思维水平，把握其现有的策略特点，通过创设学生的“最近发展区”，帮助他们从较初级的策略运用水平向较高级的策略运用水平过渡，从而提高解题能力。在学生获得新策略的初期，应提供给学生适当的练习机会，让他们体会到运用策略的好处，防止策略运用的倒退，在学生解决问题策略的稳定期，要经常给学生不同的变式，让学生学会在不同的解法中使用同一种数学认知策略，培养其思维灵活性、深刻性。
启示二：在数学教学中，我们要重视让学生在“体验”中经历过程
要重视学生在知识探索过程中的操作活动，注意让学生在动态的认知活动过程中体验和理解，让学生在大量的操作、实践等活动中弥补学生在年龄特征上的缺陷，让学生在亲身的经历中，积极参与到各项活动中，从而促进学生的发展，并注意培养学生从多角度去思考、解决问题的能力。
启示三：在数学教学中，我们要尊重学生个性化的发展
学生解决数学问题的策略具有多样性，无论是思考问题的顺序还是表现形式都有个性，小学数学教育要提倡解决问题策略的多样化，要承认学生之间存在的差异，要尊重学生的个性，促进每一位学生在原有的基础上得到发展。
六、进一步讨论的问题：
1、作为教师应该如何引导学生在有限的课堂教学时间内，经历解决问题，体验、归纳出自己解决问题策略的全过程？
2、学生解决数学问题的能力有着很大的差异，在教学中如何实施差异教学以达到最佳效果。
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