第一章 快速了解速算法
介绍一个两位数乘法心算的方法——神奇的印度速算法,从高位算到低位,迅速准确,适合心算。请看下图:
计算步骤如下:
① 97的补数是3;
② 96的补数是4;
③ 两个补数相加得7;
④ 7的补数是93;
⑤ 两个补数3和4相乘得12;
⑥ 把步骤④和⑤的得数连在一起就是答案:9312。
请看上图,这个印度速算法是不是很快啊!
我们来探究一下这个方法背后的算术原理。
97×96
=(100-3)(100-4)
=100×100-3×100-4×100+(-3)×(-4)
=10000-700+12
=9312
用代数方法就是
(a+b)(c+d)
=ac+ad+bc+bd
这个方法有个难点就是涉及到负数的运算。上例的b和d就是负数,即-3和-4,两个负数相乘的结果是负负得正,即(-3)×(-4)=12
明白了原理,就可以放心大胆地使用这个神奇的印度速算法了。
计算两位数相乘的方法,除了学校教的竖式计算以外,还有一种交叉相乘法值得推荐,适合心算。
这种算法历史相当悠久,可以追溯到古希腊和古印度的时代,在当时被誉为“闪电算法”或“十字相乘法”。
请看下图:
这种简便算法只需稍加练习就能轻松掌握。
修改一下题目:96×96的计算就更加简单了。请看下图。
平方数计算法举例:
96×96
=96²
=(96-4)×100+4×4
=9216
第二章 速算法背后的恒等式
第一章介绍了两个比100略小的数相乘的速算法,速算能够成功,那是因为它建立在恒等式的基础上。让我们把速算背后的恒等式找出来。
这两个比100略小的数,可以用100-a和100-b来表示,可得
(100-a)(100-b)=100(100-a-b)+ab
举一反三,我们根据上面的恒等式稍加变化还能得到两个比100略大的数相乘的速算法。
(100+a)(100+b)=100(100+a+b)+ab
例题请看下图:
现在我们知道了两个速算法:①两个比100略小的数相乘;②两个比100略大的数相乘。那么,这两个速算法能不能合并成一个呢?大道至简,大家都喜欢简单的东西,当然可以合并,只要引进负数的概念就行了。
举例来说,96的补数是4,102的补数是负数,是-2。减去一个数的补数,如果补数是负数,那么就是加上一个正数;两个补数相乘,如果都是负数,那么负负得正,得数是一个正数。
有了补数可正可负的概念,我们就又前进了一大步,还可以用速算法计算两个这样的数相乘,一个比100略大,另一个比100略小。
计算步骤:
102-3=99(3是97的补数);
3×(-2)=-6;
9900-6=9894(减6等于减100+补数94)。
第三章 数形结合速算法
每个恒等式后面都隐藏着一种速算法。再举一个例子。
上图黑子和白子全体组成的正方形边长是a,白子组成的正方形边长是b,那么黑子组成的磬折形面积是多少呢?
如果觉得磬折形面积不好算,那就变成这样的长方形就好啦。请看下图:
这个长方形的长是a+b,宽是a-b。计算这个长方形面积时,我们得到了平方差公式:
a² - b²=(a+b)(a-b)
我们又得到了一种速算法。
举个例子:57×63=3591
57×63
=(60+3)(60-3)
=60² - 3²
=3600-9
=3591
相邻自然数的平方差有什么速算法呢?看下个例子:
18² -17²
=(18+17)(18-17)
=35
再看这种题目能够速算吗?
97×989=95933
用交叉相乘法心算,过程如下:
989×97
=(1000-11)(100-3)
=100000-3000-1100+33
=95933
因为负负得正,所以要加上33。
科学尚未普及,媒体还需努力。感谢阅读,再见。
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