综合与实践
问题背景
折纸是一种许多人熟悉的活动,将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的,但将一边三等分就不是那么容易了,近些年,经过人们的不懈努力,已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法,最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法,现在被数学界称之为芳贺折纸三定理.其中,芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下(如图1):
操作1:將正方形ABCD对折,使点A与点D重合,点B与点C重合.再将正方形ABCD展开,得到折痕EF;
操作2:再将正方形纸片的右下角向上翻折,使点C与点E重合,边BC翻折至B'E的位置,得到折痕MN,B'E与AB交于点P.则P即为AB的三等分点,即AP:PB=2:1.
解决问题
(1)在图1中,若EF与MN交于点Q,连接CQ.求证:四边形EQCM是菱形;
(2)请在图1中证明AP:PB=2:l.
发现感悟
若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点,重复“问题背景”中操作2的折纸过程,请你思考并解决如下问题:
(3)如图2.若DE/AE=2.则AP/BP=;
(4)如图3,若DE/AE=3,则AP/BP=;
(5)根据问题(2),(3),(4)给你的启示,你能发现一个更加一般化的结论吗?请把你的结论写出来,不要求证明.
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