典型例题分析1：
如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边AB上，且BE=2AE．将△ADE沿ED对折至△FDE，延长EF交边BC于点G，连结DG，BF．下列结论：①△DCG≌△DFG；②BG=GC；③DG∥BF；④S△BFG=3．
其中正确的结论是（填写序号）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠C=90°，
∵△ADE沿ED对折至△FDE，
∴DF=AD，∠DFE=∠A=90°，
∴∠GFD=∠C=90°，
在Rt△DCG与Rt△DFG中，
DF=CD，DG=DG，
∴△DCG≌△DFG，故①正确；
∴CG=CF，
设CG=x，则BG=6﹣x，
∵BE=2AE，
∴BE=4，AE=2，
∴EG=x+2，
∵BG2+BE2=EG2，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，
∴x=3，
∴BG=CG；故②正确；
∵BG=GF，
∴∠GBF=∠GFB，
∵∠CGF=∠GBF+∠GFB，
又∵∠CGF=∠CGD+∠FGD，
∴∠GBF+∠GFB=∠CGD+∠FGD，
∵∠CGD=∠FGD，∠GBF=∠GFB，
∴∠FGD=∠BFG，
∴DG∥BF，故③正确；
∵△BFG和△BEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴S△BFG/S△BEG=FG/GE=3/5，
∵S△GBE=3×4/2=6，
∴S△BFG=3×6/5=18/5，
∴④错误；
正确的结论有3个，
故答案为：①②③．
考点分析：
翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
题干分析：
根据正方形的性质得到AD=CD，∠A=∠C=90°，根据折叠的性质得到DF=AD，∠DFE=∠A=90°，根据全等三角形的判定得到△DCG≌△DFG，故①正确；设CG=x，则BG=6﹣x，根据勾股定理得到BG=CG；故②正确；根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠FGD=∠BFG，由平行线的判定得到DG∥BF，故③正确；由S△BFG/S△BEG=FG/GE=3/5，由于S△GBE=3×4/2=6，于是得到S△BFG=3×6/5=18/5，④错误．
典型例题分析2：
如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=9/10．其中正确的有．
解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=3/3=1，CE=3﹣1=2，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AB=AF，AG=AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即（1+x）2=（3﹣x）2+22，
解得，x=3/2，
∴CG=3﹣3/2=3/2，
∴BG=CG=3/2，
即点G是BC中点，故①正确；
∵tan∠AGB=AB/BG=2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形，
∴FG≠FC，故②错误；
由（1）知Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF=∠BGF/2，
根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF，
∴∠GCF=∠GFC=∠AGB，
∵AD∥BC，
∴∠AGB=∠GAD，
∴与∠AGB相等的角有4个，故③错误；
△CGE的面积=CG·CE/2=3/2，
∵EF：FG=2：3，
∴S△FGC=9/10，故④正确；
综上所述，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
考点分析：
翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
题干分析：
先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再设BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=3/2，从而可以判断①正确；
根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；
找出与∠AGB相等的角只有4个，判定③错误；
先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断④正确．
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