统计学有两大主要分支，分别是描述性统计学和推断统计学。描述性统计学用于描述和概括数据的特征以及绘制各类统计图表。总体数据，往往因为数据量太大而难以被获取，所以就有了通过较小的样本数据推测总体特性的推断统计学。
推断统计学的一个研究方向就是用样本数据估算总体的未知参数，称之为参数估计。如果是用一个数值进行估计，则称为点估计；如果估计时给出的是一个很高可信度的区间范围，则称为区间估计。
本文先介绍了抽样分布和中心极限定理，并用蒙特卡洛方法进行模拟；然后引入置信区间的概念，并将之用于分析BRFSS数据中的BMI指数上。
首先依旧是导入相关Python模块和数据，顺便看下数据量。
# 输入import pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsimport brfssdf = brfss.ReadBrfss()bmi = df.bmi.dropna() # 取数据中的bmi列，并去除缺失值print(len(bmi))# 输出405058如果我们将上述40万多份的BMI数据看成是总体，然后从中随机抽取n个数据组成一份样本，并计算该样本的均值。重复这一过程1000次，我们就得到了1000个样本的均值分布，即抽样分布。
抽样分布满足中心极限定理，即在样本量n越来越大时，均值的抽样分布将越来越接近正态分布，该分布的均值等于总体的均值；标准差，在这里也称为标准误差SE满足公式：
sampling_distribution()函数用于实现这一模拟过程，并绘制抽样分布的直方图和ECDF图。def sampling_distribution(data, sample_size=20, bins=40): #抽样分布模拟，输出均值、标准差以及直方图、ECDF图 # 随机抽样 sampling = [np.mean(np.random.choice(data, size=sample_size, replace=False)) for _ in range(1000)] # 输出总体和抽样分布的均值、标准差 mu = np.mean(data) se = np.std(data) / np.sqrt(sample_size) print('mean of sample means: %.2f' % np.mean(sampling)) print('population means: %.2f' % mu) print('Standard deviation of sample means: %.2f' % np.std(sampling)) print('Standard Error: %.2f' % se) # 绘制抽样分布的直方图、ECDF图 fig = plt.figure(figsize=(16,5)) p1 = fig.add_subplot(121) plt.hist(sampling, bins=bins, rwidth=0.9) plt.xlabel('sampling means') plt.ylabel('counts') p2 = fig.add_subplot(122) plot_ecdf(sampling, xlabel='sampling means', label='sampling ') sample = np.random.normal(mu, se, size=10000) plot_ecdf(sample, xlabel='sampling means', label='normal distribution') plt.show()def ecdf(data): #计算ECDF x = np.sort(data) y = np.arange(1, len(x)+1) / len(x) return (x,y)def plot_ecdf(data, xlabel=None , ylabel='ECDF', label=None): #绘制ECDF图 x, y = ecdf(data) _ = plt.plot(x, y, marker='.', markersize=3, linestyle='none', label=label) _ = plt.legend(markerscale=4) _ = plt.xlabel(xlabel) _ = plt.ylabel(ylabel) plt.margins(0.02)下面我们将样本量n分别取为10、20、100，进行三次模拟。
# 输入sampling_distribution(bmi, sample_size=10)sampling_distribution(bmi, sample_size=20)sampling_distribution(bmi, sample_size=100)# 输出mean of sample means: 27.95population means: 28.04Standard deviation of sample means: 2.04Standard Error: 2.10mean of sample means: 28.11population means: 28.04Standard deviation of sample means: 1.50Standard Error: 1.49mean of sample means: 28.05population means: 28.04Standard deviation of sample means: 0.69Standard Error: 0.67一般当n大于等于30时，样本均值的抽样分布近似为正态分布。此时我们可以用样本的均值来估计总体的均值，这就是点估计的一种最简单的方式。但从上述分布也可以看出，样本均值其实是以一定概率在总体均值附近浮动的，所以这就有了后面将要讲的置信区间。
关于中心极限定理，还有一点需要强调的是，无论变量原来的分布是什么样的，其均值的抽样分布在n足够大时都会接近正态分布。比如我们研究BRFSS数据中人们每周运动的总时间（单位：分钟），大部分人每周运动的时间少于500分钟，而极少数人能达到3000分钟，其直方图反应数据大部分集中在左侧，而右侧有一条长长的尾巴。
exemin = df[df.exemin != 0].exemin.dropna() # 提取锻炼时间数据，丢弃0或者缺失值plt.hist(exemin,bins=40, range=(0,3000), rwidth=0.9) # 绘制直方图plt.xlabel('exercise mins per week')plt.ylabel('counts')plt.show()# 输入sampling_distribution(exemin, sample_size=1000)# 输出mean of sample means: 499.54population means: 499.37Standard deviation of sample means: 23.60Standard Error: 23.75既然中心极限定理中涉及了正态分布，我们就来看看其均值和标准差的一些性质。这里导入scipy的统计模块，使用scipy.stats.norm()模拟标准正态分布，即均值为0，标准差为1。使用norm.pdf()计算概率密度，并绘制概率密度函数（PDF）图。
import scipy.statsnorm = scipy.stats.norm() # 标准正态分布x = np.arange(-5, 5, 0.02)y = norm.pdf(x) # 概率密度plt.plot(x,y)plt.axvline(x=0,ymax=0.95, linestyle='--', color='red', alpha=0.5)plt.axvline(x=1,ymax=0.59, linestyle='--', color='green')plt.axvline(x=-1,ymax=0.59, linestyle='--', color='green')plt.axvline(x=2,ymax=0.16, linestyle='--', color='blue')plt.axvline(x=-2,ymax=0.16, linestyle='--', color='blue')plt.margins(0.02)plt.show()# 输入print('1 sigma : %.3f' % (norm.cdf(1) - norm.cdf(-1)))print('2 sigma : %.3f' % (norm.cdf(2) - norm.cdf(-2)))print('3 sigma : %.3f' % (norm.cdf(3) - norm.cdf(-3)))# 输出1 sigma : 0.6832 sigma : 0.9543 sigma : 0.997反过来，我们也可以通过概率来求变量分布的区间，这里使用norm.interval()，比如95%的情况下变量分布在-1.96到1.96之间，99%的情况下分布在-2.58到2.58之间。
# 输入norm.interval(0.95)norm.interval(0.99)# 输出(-1.959963984540054, 1.959963984540054)(-2.5758293035489004, 2.5758293035489004)在能够计算正态分布中一定概率下对应的变量区间后，我们再回到之前用样本均值估计总体均值时遗留的问题，即样本的均值围绕总体均值在一定范围内浮动的。我们需要估算总体均值在多大的概率下落在抽样的随机区间内，这就是置信区间。
我们仍然将40多万的bmi数据当成是总体，然后从中随机抽取样本量为100的数据，根据中心极限定理绘制抽样分布图如下。
sample_size = 100 # 计算总体的均值和标准差mu = np.mean(bmi)se = np.std(bmi) / np.sqrt(sample_size)# 绘制正态分布的PDFnorm = scipy.stats.norm(mu, se)x = np.arange(26, 31, 0.01)y = norm.pdf(x)plt.plot(x,y)# 绘制抽样分布的直方图sample_size = 100 sampling = [np.mean(np.random.choice(bmi, size=sample_size, replace=False)) for _ in range(1000)]plt.hist(sampling, bins=40, rwidth=0.9, normed=True, alpha=0.7)plt.show()# 输入norm.interval(0.95)norm.interval(0.99)# 输出(26.738141245959351, 29.346706751112283)(26.328305902131977, 29.756542094939658)回到本系列文章一直在探索的一个问题，即比较富人和普通人的BMI指数。此时，bmi数据不再当做总体看待，而是作为调查的样本，总体是BRFSS数据针对的全体美国人。首先将bmi数据按照收入等级分为两组，即富人bmi数据和普通人bmi数据。
df2 = df[['bmi', 'income']].dropna() # 提取数据中bmi和收入水平income这两列，并忽略缺失值bmi_rich = df2[df2.income == 8].bmi # 收入水平为8级的，认为是富人bmi_ord = df2[df2.income != 8].bmi # 收入水平为1-7级的，认为是普通人群以下定义了mean_ci()函数，根据置信区间的计算公式，计算95%置信度下均值所在的区间。
def mean_ci(data): '''给定样本数据，计算均值95%的置信区间''' sample_size = len(data) std = np.std(data, ddof=1) # 估算总体的标准差 se = std / np.sqrt(sample_size) # 计算标准误差 point_estimate = np.mean(data) z_score = scipy.stats.norm.isf(0.025) # 置信度95% confidence_interval = (point_estimate - z_score * se, point_estimate + z_score * se) return confidence_interval于是得到富人bmi95%的置信区间为(27.42, 27.49), 普通人bmi95%的置信区间为(28.51, 28.57)。这两个区间间隔的还比较远，数值上差不多有1这么多。所以我们可以比较有信心的得出富人更瘦的结论。
# 输入mean_ci(bmi_rich)mean_ci(bmi_ord)# 输出(27.415906122294761, 27.485560606043915)(28.509003170593907, 28.565637279855423)但要注意了，以上之所以能得到这么肯定的结论，源于使用的样本数据量非常大，这大大缩小了置信区间的范围（这可以从中心极限定理中标准误差的公式看出）。现在让我们使用前500个数据，看看在样本较少时会发生什么情况。
# 输入mean_ci(bmi_rich[:500])mean_ci(bmi_ord[:500])# 输出(27.849838839563304, 28.791561160436636)(28.200546441671069, 29.303493558328935)此时富人bmi95%的置信区间为(27.85, 28.79)，而普通人bmi95%的置信区间为(28.20, 29.30)，很明显这两个区间都变大了。尽管富人的bmi指数仍有相对较小的趋势，但是这两个区间有部分重合，这时我们就无法得出非常肯定的结论了。可见样本量在做判断时起着非常重要的作用，样本越大，判断越准确，这也是与我们常识相符的。
联系客服
