夏志宏：三体问题是个什么问题？

高山大学2019年经典课程

授课老师：夏志宏，高山大学校董、教务长，数学家、天文学家，美国西北大学终身教授，南方科技大学讲座教授、数学系主任。曾被杨振宁认为是南京大学最出色的校友之一。1988年，年仅26岁的他在博士毕业论文中解决了1897年提出的著名的庞勒维猜想，之后他又在动力系统领域做出了许多其他的重要贡献，成为国际动力系统和天体力学领域的领袖人物之一。

△夏志宏教授

课前思考

1. 混沌是怎么形成的，有什么特点？

2. 潘勒维猜想是什么，怎么解决的？

3. 太阳系是稳定的吗？

4. 混沌能带来好的结果吗？

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学习数学，并不一定是要掌握多少数学定理，更多的是培养一种独特的追根求源的思维方式。数学并没有想象中那么难，其实也有很多有趣的问题，比如说我今天要给大家讲到的混沌问题、三体问题以及天体运动问题等等。

三体运动系统是一个混沌系统。说到混沌，首先就要提到牛顿。

牛顿是历史上最伟大的科学家之一。传说因为苹果掉到他头上让他产生了灵感，从而发现了万有引力定律。其实科学上的所有灵感都是基于长期的研究，牛顿万有引力的发现是基于开普勒的行星运动三大定律，而开普勒的定律又来源于丹麦天文学家第谷对行星运动的观测结果。

当年第谷在丹麦天文台对行星的运动进行了大量的系统的天文观测。当时发现行星之一的火星非常难以观测，他听说开普勒很聪明，便把对火星的观测交给了他。

恰恰是对火星的观测结果奠基了开普勒行星运动三大定律。

我们描述天体运动轨迹时，常用到一个词：偏心率。偏心率指的椭圆偏离圆形的程度。偏心率等于0时，椭圆运动轨迹为圆形。偏心率接近1时，椭圆便是一个细长的形状。

△八大主要行星的特征数据

 

在八大行星里，地球、木星、土星、海王星的偏心率都较小，运行轨道都接近圆，而火星和水星的偏心率比较大，但是水星太靠近太阳，很难观测。火星的偏心率是0.09，在当时的观测水平下是刚好可以观测到的，假如没有对火星的观测，当时可能会误认为所有行星的轨道都是圆，根本不知道行星的运动轨道其实是椭圆。

正是因为开普勒的行星运动三大定律，牛顿才得出了万有引力定律，所以幸运的并不是一个苹果掉在牛顿的头上，幸运的是当初的观测精度刚好能测定出火星的轨道是椭圆形。

万有引力定律的发现过程中，牛顿和莱布尼茨又同时发明了微积分，加上牛顿的力学理论，计算行星轨道这么一个天文学问题就变成了一个数学问题：如何解一组微分方程。

 

 

太阳系是稳定的吗？

 

前段时间刘慈欣的小说《三体》非常火，什么是三体？简单地说就是三个质点，或者三个天体，它们在牛顿万有引力之下所产生的运动。解决三体运动的力学问题称之谓三体问题。

 

牛顿是第一个试图解决三体问题的人。当然我们要研究的还不止是三体，而是多体问题。但刚才我已经提到过，在经典力学的意义下，三体问题不可解。

 

三体问题不可解其深刻的原因就是后来我们发现的混沌现象。因为混沌的存在使得三体问题在经典意义下不可解。不可解并不代表着我们完全不知道三体将来的轨道，其实给定初始状态，轨道都是可以计算的。但由于数值计算存在不可避免的误差，长时间的计算会因误差积累而使计算结果失去意义。因而长时间的预测也就不再可信。

 

自然地，我们关心一个很简单的问题：太阳系是稳定的吗？

 

牛顿认为太阳系是不稳定的。

牛顿是一个非常虔诚的基督徒，他认为太阳系不稳定，但地球之所以是稳定的，是因为地球一旦出现不稳定状态的时候，上帝就会伸出有力的手将地球推回到原轨道上去。他的后半生几乎都在试图用科学的方法证明上帝的存在，试图计算出上帝是哪一天伸出“上帝之手”来拯救地球的。

 

现在我们知道，这是一个荒唐的想法，当然，牛顿后半辈子都没能算出来。

与牛顿的意见相左，法国科学家约瑟夫·拉格朗日（Lagrange）和皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Laplace）则认为，行星系统是稳定的。关于稳定和不稳定这个问题，整个历史上都有两拨人在争论不休。

 

也许有人要问，为什么我们对太阳系是否稳定这种事情有如此兴趣？甚至对宇宙起源有如此浓厚的兴趣？其实这些问题对我们的日常生活没有多少关系。

其实道理很简单。

一个原因是我们人类对自然世界的好奇心，科学研究可以满足我们的好奇心；

另外一点就是，科学本身看似无用，但恰恰就是这些无用的知识对人类社会产生了巨大的影响。

 

现代科学是从好奇与“无用”开始的。这里我强调的是，“无用”的科学对人类文明发展至关重要。

 

我们现在研究的好多事情看似无用，数学、天文、理论物理等可能都属于这一类。但正是这些“无用”的研究推进了科学的发展。技术和科学不太一样，技术的发展给人类带来的是渐进性的进步，然而，正是那些“无用”的科学给人类带来了革命性的进步。这也是为什么我们高山大学要提出“科学复兴”。

 

尽管我们不知道太阳系是不是稳定的，但根据可靠的计算，太阳系至少在几百万年，几千万年内是稳定的。关于稳定性这个问题，数学上也有一些比较深刻的理论。著名的KAM理论认为：靠近稳定系统的系统基本上是稳定的。不稳定有可能发生，但概率不大。也就是说，从大概率上讲，太阳系基本上是稳定的。

 

 

KAM理论看似很简单，但是要用严格数学写出来却非常复杂。数学讲求严谨，每一个陈述都需要十分精确。

 

 

科学发现的弯路

 

讲了这么半天稳定性，其实我想讲的主要内容是混沌。混沌是稳定的对立面。大家可能都听说过混沌，但具体什么是混沌，什么样的系统是混沌系统，可能不一定清楚。

 

关于混沌的发现，科学家们走过一些弯路。

 

瑞典与挪威原来是一个国家，在19世纪有个皇帝叫奥斯卡二世，他非常热爱科学和艺术，大学本科的时候在瑞典乌普萨拉大学（Uppsala University）读数学。他创立了数学杂志《Acta Mathematica》，到现在还是数学领域里最权威的四大杂志之一。1897年，他在数学家Mitaq-Lefler的提议下，设立了奥斯卡二世奖，主要为了嘉奖能解决三体问题的数学家，这应该算是当时最伟大的奖。

 

数学家Mitaq-Lefler很多人不熟悉，但是诺贝尔奖没有设立数学奖，传说是因为他的缘故。

 

传说是因为Mitaq-Lefler抢了诺贝尔的女朋友，诺贝尔担心设立数学奖之后会被他获得，所以在临终前决定诺贝尔奖中不设立数学奖。

 

1895年，奥斯卡二世邀请巴黎大学教授、著名数学家潘勒维（Paul Painlevé）到斯德哥尔摩做系列讲座，在这次讲座中，潘勒维提出了潘勒维猜测：在几个星体通过万有引力相互作用的情况下，可能出现这样一种情况，那就是其中某个星体有可能在有限时间内，被其他星体甩到无限远的地方去。

这个猜测在近100年之后，1988年，才在我的博士论文里得以解决。我用混沌机理最终解决了潘勒维猜测。

我们回到奥斯卡二世奖。

 

在当时的巴黎大学，还有一位非常有名的数学家庞加莱（Henri Poincaré），为了得奖，他写了一篇文章，表明自己解决了三体问题（我们现在知道不可能）。审稿通过后被授予奥斯卡二世大奖。

但就在这个时候，他的学生仔细读了他的文章，在文章中发现了一个致命的错误。为了弥补这个错误，庞加莱重新写了一篇文章。

在新的文章里，混沌的概念被提出，庞加莱描述三体问题非常复杂，三体运动可能处在混沌的状态中。这也是混沌现象第一次从数学上描述。鉴于新文章的重要性，评奖委员会决定还是把奥斯卡二世奖颁给庞加莱。庞加莱秘密地撤回原先有错误的论文，重新印刷期刊，为此他花了自己4个月的工资。而奥斯卡二世大奖奖金才相当于他2个月的工资。

他以为这件事情做得很秘密，大家都看不到他原先错误的文章，直到上个世纪80年代，人们在欧洲的一个校图书馆中发现了一份载有原始论文的杂志，这才知道事情的真相。

 

我们对物质世界的认识，是一个从简单到复杂的过程，这也正是科学发现的过程。

 

 

混沌与不稳定性

 

什么是混沌？混沌是一种非常不稳定的物理或数学现象。亚里士多德说：“万物之先有浑沌，然后才产生了宽胸的大地”，此观念和中国的“混沌初开”很相似。

据说印度数学家发明了国际象棋，皇帝承诺给他奖赏，问他要什么？数学家说很简单，国际象棋64格，第一个给我1颗麦子，第二格2颗，第三格4颗，第四格8颗，以此类推。皇帝觉得这奖励太容易了，就一口答应了，没想到，最后算下来，整个国家几乎要倾家荡产。

因为2000年以来全球所有的麦子加起来都没有那么多。

 

此例说明了一个道理：几何级数的增长速度特别快！而几何级数是混沌现象的一个最基本的机理。

举一个最简单的例子。我们做这样一个简单的物理系统：在一个密封的盒子里放几个气体分子，每个分子之间相互作用，产生运动。我们要去预测分子将来的位置，就像我们要预测太阳系中星球的位置一样。

我们可以想象，气体是非常不稳定的，只要第一次的测试有一个非常小的误差，那很可能在一秒之中，误差就会加倍，下一秒钟，继续加倍。64秒钟之后，误差就变成了天文数字。所以无论最开始测量的多么准确，最后的结果都不可预测。

 

 

在天文学里，几百年就像是人生的几秒钟一样，只不过是一个时间尺度的问题，但是误差和加倍都是自然存在的，所以整个宇宙系统就是一个典型的混沌系统。

 

将来无法预测，这是混沌系统最显著的一个特征。

 

对于刚才那个简单的盒子系统，宏观来看，分子还在盒子里，也就是说宏观的误差不会太大。但在微观角度，误差是非常大的，小范围内它的误差呈指数增长。

 

气象系统就是一个典型的混沌系统。

 

在座的很多人可能知道“蝴蝶效应”，它讲的这么一个现象：

今天东京的天气本应该是晴空万里，但是可能因为两周前一只蝴蝶在美国芝加哥晃了一下翅膀，蝴蝶对气流产生的影响尽管很微弱，但这种影响短时间内很有可能被加倍，一次次加倍后就会影响全球气候，两个星期后，我们看到今天东京是阴雨天气！

空气动力学系统是混沌的，蝴蝶振动翅膀这样的微小扰动，可以给系统带来全局的变化。

 

龙卷风的形成，往往就是因为一个小小的气旋。“蝴蝶效应”看似有点夸张，但恰恰说明了混沌的本质。由此我们看到精确预报长期天气是不可能的。

 

混沌现象也有强弱之分。比如有些地区的气象有一定的局限，预测起来相对简单，比如美国亚力山大地区大沙漠，几乎每天都是晴天。而有些山区，几个小时内的天气变化都很难预测。每个地方的混沌程度都是不一样的，时间刻度不一样，空间大小也不一样。

 

要了解一个混沌系统，首先要知道混沌系统的空间大小，其次要知道它的时间刻度。将来虽然不可预测，但是我们可以预测某件事情发生的概率是多少。 这是为什么概率论在现代动力系统的研究中有着非常重要的应用。   

                                         

 

混沌的应用

 

讲到这个时候，大家可能都觉得混沌不好，因为乱总是给人很糟糕的感觉。确定性才能给人安全感。但混沌也有其有用的时候。

 

1991年4月，日本发射了一个叫Hiten（飞天）的月球探测器。上天以后发现燃料不够，日本向美国宇航局求救，美国喷气推进实验室的数学家Belbruno被指派协助日本解救失控探测器。

Belbruno花了一个月时间重新设计了轨道。最终Hinten在1991年10月成功地进入了月球轨道。

Belbruno当时解决问题的主要想法是这样的：利用有限的燃料把探测器送到混沌区域，利用混沌系统的不确定性（小的扰动可以带来大的偏差），以少量燃料把探测器送到指定区域。

 

有一天，Belbruno和我联系，说他发现我的一篇关于三体运动的文章对他的方法提供了很好的理论基础，如果预先知道我的文章，他就不需要花一个月时间来设计轨道了。

1998年，Belbruno又利用混沌的机制救了一个美国的Hughe’s的HGS-1探测器。

 

可能大家会有疑问，既然知道有混沌区域存在，为什么在设计探测器轨道的时候不直接利用混沌系统呢？其实这中间存在一个时间问题，利用系统内在的混沌机制需要很长的时间，而卫星或探测器有些任务有时间限制，需要尽快完成。比如美国登月计划不允许飞船长时间在空中，大力士火箭直接将人从地面送到月球上只需要3天时间。

 

 

当然现代轨道设计还是考虑到充分利用混沌机制，比如嫦娥系列探测器的发射。

 

嫦娥二号曾飞往停靠在太阳系一个非常有趣的地方：离地球150万公里的位置天文学上称为L2平衡点。这个位置上的物体可以和地球同步运动，保持相对平衡：物体收到的离心力和地球与太阳提供的吸引力正好平衡。也就是说探测器在这里可以保持相对静止不动，而无需任何燃料。国外不少文章猜测嫦娥二号此行目的，揣摩是否与空间武器有关。

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高山大学（GASA）是一所以“科学复兴”为愿景，以“没有受教，求知探索”为校训，致力于培养具有科学精神的未来领袖的新型大学。由长城会创始人文厨创办，源码资本投资合伙人CEO张宏江、创新工场创始人李开复、清华大学教授鲁白、清华大学教授吴国盛、斯坦福大学教授崔屹、加州大学伯克利分校教授杨培东、清华大学苏世民书院院长薛澜、Zoom创始人兼CEO袁征、美国西北大学终身教授夏志宏、中国科学院院士周忠和、斯坦福大学教授张首晟（特别致敬）等联合发起并作为校董。