有一种乐趣，叫解数学题

一道几何题

四位老师的不同解答

美籍匈牙利著名数学家波利亚曾说：一道数学题目会如同一个纵横字谜游戏一样有趣，或者发现充满活力的思维练习就像一场激烈的网球比赛一样令人神往。在尝到了数学带来的乐趣以后，他就不会轻易地忘记，于是数学就很有机会成为他生活中的一部分：一种爱好，或者他专业工作中的一种工具，或者是他的职业，或者是一种崇高的抱负。

问题提出：已知：△ABC为正三角形，△BDF为顶角120度的等腰三角形，G为AF中点，试求DG与CG的关系。

问题分析：DG与CG的关系包括数量关系和位置关系。小编看到题目后，利用几何画板画出了符合条件的图形，在移动点F的过程中，利用角度工具发现∠DGC的度数始终保持90。那么如何证明∠DGC为90呢？我们可以从给的已知条件找突破口，比如怎么使用等边三角形相关性质、120的等腰三角形及中点的性质？怎么把分散的数量关系集中？

 

问题解决：当问题被分享到交流群后，我们首先得到李亦瑄同学的解决方案。他的解决方法和姚老师的解决方案一致。

方法一（姚国成老师提供）：如图，延长FD至H使HD=DF,连接AH、BH、CD。

设∠1=ɑ，因为DG是△ABC的中位线，

所以DG//AH且AH=2DG,

因为∠BDF=120，所以∠HDB=60.

因为BD=DF,所以HD=BD

所以△BDH为等边三角形

所以∠2=∠1=ɑ

易知△AHB≌△DBC

所以∠BDC=∠BHA=60+ɑ,AH=CD

所以∠3=120—∠BDC=60-ɑ

所以∠CDG=∠2+∠3=60

因为AH=DC=2DG，∠CDG=60

易证∠DGC=90,CG=√3DG

思考：已证∠CDG=60，CD=2DG，如何证明∠DGC=90？

在CD上找中点E,连接CE。因为CE=2DG,CE=2DE=2EC，所以DG=DE.

因为∠CDG=60，所以△DEG为等边三角形。

所以EG=DE=EC,∠GED=60,∠GED=2∠C

即∠C=30，所以∠DGC=90

(或者由GE=1/2CD,DE=CE得∠DGC=90）

方法二（陈铁成老师提供）：姚老师评价这种方法：这方法赞，适合对学生评讲！倍长中线，对角互补，手拉手全等都是经典。让我们来看看陈老师怎么做的的吧！

解析：倍长DG，再证明△BCD≌△ACD’,进而得到△CDD’为等边三角形。

思考：这道题目的关键是如何证明△BCD≌△ACD’？

易知△AGD’≌△FGD,所以AD’=DF=BD

∠D’AG=∠DFG,可得∠2=∠3

又因为BC=AC，因此，我们只需证明∠1=∠2即可。

因为∠BDF+∠BCE=120+60=180

所以∠1+∠DEC=180,∠3+∠DEC=180,

所以∠1=∠3，所以∠1=∠2

所以△BCD≌△ACD’

所以CD=CD’,∠DCD’=60

故∠DGC=90，CG=√3DG

 

方法三：（徐君斌老师提供）徐老师巧妙的构造相似，并根据相似性质得到CD=2DM、∠CDM=60。具体解法见下图。

方法四（谈志国老师提供）：谈老师巧妙构造了两个相似的直角三角形

△MBF∽△ABN,由放缩旋转（一转成双），易知△BFN∽△BMA，故MA与NF相交所围成的角的度数等于旋转角90。因为DG//AM,GC//FN,所以∠DGC=90。

 

思考：一转成双如何证明？即已知△ABC∽ADE,如何求证△ABD∽ACE？

因为△ABC∽△ADE

致谢：感谢李亦瑄同学提供的题目，也感谢以上四位老师提供的精彩解答！让我们透过一道几何题，四种不同的解法，让我们感受到数学的魅力！期待大家更多的分享与交流！

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