生长是基因的传承和完善的过程,一棵小树长成大树,它的内在基因一脉相承,各部分组织浑然一体,不会出现某一树枝突然与树干分隔、断裂。在基因的系统调控下,生物就能正常持续地生存发展,并且是可预知可控制的。但学生在学习中往往会出现知识的孤立和分裂,这就是缺乏“生长基因”导致的。生长的基本要素是基因,不少学生前面学过的知识方法在后面解决问题时“想不到”,就是缺乏一以贯之的“生长基因”,学习只是一种简单的堆积,缺少持续发展的生命力,这个道理只要想一下一棵大树与一堆木柴的区别就可以了解。
要让数学教学具有生长性,就要把数学的基因融入学生的思维之中,那么数学的基因是什么呢?当然是数学的核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想像、数学运算、数据分析等六个方面。这些核心能力既是改造世界的有力工具,又是理性精神的发展基础,与人的完善与成长关系莫大。种子的基因决定了它自然而然地生根发芽开花结果,它不会忘了长叶,也不会忘了开花,它也不会感觉长出树枝或者结出果子很难。学习数学也是这样,如果理解掌握了数学的内在基因(本质),一切都是水到渠成,顺畅自然。数学最重要的本质是抽象,抽象能力有了,数学想不好都难!抽象就是找共性,去异求同,化繁为简,诸法归一,数学概念是抽象,数学定理是抽象,数学方法是抽象,数学模型是抽象,数学思想是抽象,总结解题策略是抽象,分析概括题意是抽象,题型归类是抽象……,在数学教学的整个过程都要贯穿抽象能力的培养和训练。
例1.如图,在Rt△ABC中,延长斜边BC到点D,使DC=1/3BC,连接AC,若tanB=3/5,则tan∠CAD的值为 .
这道题出示之后,大部分学生都能正确地构造图形加以解决,但仍有少数学生构造出下面的图形:
然后,左看右看再也做不下去了。
我问:你已经注意到要求角的三角函数值,一般要构造含这个角的直角三角形,你虽然构造出了直角三角形,但是还不好解决,你觉得做不下去的原因是什么呢?
答:不清楚。
问:解题的黄金法则是什么?
若有所悟:条件用足,模型完整,这样构造还有条件DC=1/3BC不好利用。
问:条件是什么?一般怎么用?
突然醒悟:有比例关系构造相似!
问:相似三角形有哪些常见形式?画画看。
学生画图构造如下:
问:概括一下上面图中构造辅助线的方法是什么?
答:过C、D点作平行线,构造“A形”或“X形”相似三角形。
问:为什么要过C、D点作平行线呢?
答:因为有条件BC:CD=3:1,过C、D点作平行线就可以得到包含BCD三点的相似三角形,并能确定其相似比。
问:图中B、C、D三点的地位是对等的,那么还可以怎样构造?
答:过B点应该也可以。
尝试作图如下,果然成功:
用一句话概括:过比例线段中的一点,分别作图中其它两条线段的平行线,构造出“A形”和“X形”相似三角形。
做完再想:这是一个什么样的问题?我们采取了什么样的策略方法?
抽象概括:(1)这是一个几何构造问题,构造图形要从条件出发,把条件尽可能构造在数学模型中以充分利用;(2)问题中含有比例线段,可以过比例线段的端点作平行线,构造相似三角形,从而产生其它线段关系解决问题。
方法策略的总结就是一种典型的抽象,经过提炼概括,解题的逻辑清晰、思路简洁,再稍作训练,解决此类问题便可以轻而易举,而且可迁移性很强,因为这是建立在对数学内在规律和原理的深刻理解基础上。
例2.如图,△ABC是边长为3√3等边三角形,点D是边AD上的一点,AD=2,过点D作DE∥AC交AC于E,将△ADE绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°),求当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长.
这道题学生是可以通过尝试画出图形的,但要花一定的时间,且易有遗漏。单纯靠直觉或反复尝试解决问题不符合数学的精神和本质,用计算、推理解决问题才是数学的味道。
为此设计问题:(1)观察图形,你能根据条件判断△ADE旋转多少度时可以使DE与AC所在直线垂直吗?
(2)DE与AC的初始位置是什么关系?【显然是120°】
(3)从120°变成90°只要逆时针旋转多少度?【计算易知30°】
(4)直线旋转多少度时与原来位置方向一致?【180°】
(5)由此可判断存在几种符合题意的情况?【两种情况,在30°的基础上再转180°得另一种情况】
这几个问题是对旋转时角度变化规律的抽象概括,搞清楚这些自然不会出现画图困难或分类遗漏的情况,解题的效率大大提高。
例3.【发现】如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,连接EF.
因为AB=AD,所以把△ABE绕A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.因为∠CDA=∠B=90°,所以∠FDG=180°,所以F、D、G共线.
如果 (填一个条件),可得△AEF≌△AGF.
经过进一步研究我们可以发现:当BE,EF,FD满足 时,∠EAF=45°.
【应用】如图2,在矩形ABCD中,AB=6,AD=m,点E在边BC上,且BE=2.
(1)若m=8,点F在边DC上,且∠EAF=45°(如图3),求DF的长;
(2)若点F在边DC上,且∠EAF=45°,求m的取值范围。
本题的几个小题之间是相互联系的,解决此类问题要讲究策略(称为“移花接木”),策略正确则事半功倍,而策略是抽象性的认识,为思考问题提供方向性指导。如果掌握了“移花接木”策略,就容易想到把后面的问题转化为前面的模型或迁移前面的思路方法,图2构造转化如下:
第(2)问与之一脉相承,构造如下:
抽象能力决定思维高度,越是抽象的认识,指导性越强,适用性越广。
为什么想不到?因为抽象能力不够,所站高度不够,导致缺少思维的策略与方法。
所以无论干什么,既要做具体的事,又要悟抽象的理,没有理的指导,做事就变成蛮干而低效。
理以事显,事以理成,理事圆融,方得大道。
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