为什么想不到

生长是基因的传承和完善的过程，一棵小树长成大树，它的内在基因一脉相承，各部分组织浑然一体，不会出现某一树枝突然与树干分隔、断裂。在基因的系统调控下，生物就能正常持续地生存发展，并且是可预知可控制的。但学生在学习中往往会出现知识的孤立和分裂，这就是缺乏“生长基因”导致的。生长的基本要素是基因，不少学生前面学过的知识方法在后面解决问题时“想不到”，就是缺乏一以贯之的“生长基因”，学习只是一种简单的堆积，缺少持续发展的生命力，这个道理只要想一下一棵大树与一堆木柴的区别就可以了解。

要让数学教学具有生长性，就要把数学的基因融入学生的思维之中，那么数学的基因是什么呢？当然是数学的核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想像、数学运算、数据分析等六个方面。这些核心能力既是改造世界的有力工具，又是理性精神的发展基础，与人的完善与成长关系莫大。种子的基因决定了它自然而然地生根发芽开花结果，它不会忘了长叶，也不会忘了开花，它也不会感觉长出树枝或者结出果子很难。学习数学也是这样，如果理解掌握了数学的内在基因（本质），一切都是水到渠成，顺畅自然。数学最重要的本质是抽象，抽象能力有了，数学想不好都难！抽象就是找共性，去异求同，化繁为简，诸法归一，数学概念是抽象，数学定理是抽象，数学方法是抽象，数学模型是抽象，数学思想是抽象，总结解题策略是抽象，分析概括题意是抽象，题型归类是抽象……，在数学教学的整个过程都要贯穿抽象能力的培养和训练。

例1.如图，在Rt△ABC中，延长斜边BC到点D，使DC＝1/3BC，连接AC，若tanB＝3/5，则tan∠CAD的值为      .

这道题出示之后，大部分学生都能正确地构造图形加以解决，但仍有少数学生构造出下面的图形：

然后，左看右看再也做不下去了。

我问：你已经注意到要求角的三角函数值，一般要构造含这个角的直角三角形，你虽然构造出了直角三角形，但是还不好解决，你觉得做不下去的原因是什么呢？

答：不清楚。

问：解题的黄金法则是什么？

若有所悟：条件用足，模型完整，这样构造还有条件DC＝1/3BC不好利用。

问：条件是什么？一般怎么用？

突然醒悟：有比例关系构造相似！

问：相似三角形有哪些常见形式？画画看。

学生画图构造如下：

问：概括一下上面图中构造辅助线的方法是什么？

答：过C、D点作平行线，构造“A形”或“X形”相似三角形。

问：为什么要过C、D点作平行线呢？

答：因为有条件BC:CD=3:1，过C、D点作平行线就可以得到包含BCD三点的相似三角形，并能确定其相似比。

问：图中B、C、D三点的地位是对等的，那么还可以怎样构造？

答：过B点应该也可以。

尝试作图如下，果然成功：

用一句话概括：过比例线段中的一点，分别作图中其它两条线段的平行线，构造出“A形”和“X形”相似三角形。

做完再想：这是一个什么样的问题？我们采取了什么样的策略方法？

抽象概括：（1）这是一个几何构造问题，构造图形要从条件出发，把条件尽可能构造在数学模型中以充分利用；（2）问题中含有比例线段，可以过比例线段的端点作平行线，构造相似三角形，从而产生其它线段关系解决问题。

方法策略的总结就是一种典型的抽象，经过提炼概括，解题的逻辑清晰、思路简洁，再稍作训练，解决此类问题便可以轻而易举，而且可迁移性很强，因为这是建立在对数学内在规律和原理的深刻理解基础上。

例2.如图，△ABC是边长为3√3等边三角形，点D是边AD上的一点，AD=2，过点D作DE∥AC交AC于E，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），求当△ADE旋转到DE与AC所在的直线垂直时BD的长．

这道题学生是可以通过尝试画出图形的，但要花一定的时间，且易有遗漏。单纯靠直觉或反复尝试解决问题不符合数学的精神和本质，用计算、推理解决问题才是数学的味道。

为此设计问题：（1）观察图形，你能根据条件判断△ADE旋转多少度时可以使DE与AC所在直线垂直吗？

（2）DE与AC的初始位置是什么关系？【显然是120°】

（3）从120°变成90°只要逆时针旋转多少度？【计算易知30°】

（4）直线旋转多少度时与原来位置方向一致？【180°】

（5）由此可判断存在几种符合题意的情况？【两种情况，在30°的基础上再转180°得另一种情况】

这几个问题是对旋转时角度变化规律的抽象概括，搞清楚这些自然不会出现画图困难或分类遗漏的情况，解题的效率大大提高。

例3.【发现】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，连接EF.

因为AB=AD，所以把△ABE绕A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．因为∠CDA=∠B=90°，所以∠FDG=180°，所以F、D、G共线．
如果              （填一个条件），可得△AEF≌△AGF．

经过进一步研究我们可以发现：当BE，EF，FD满足             时，∠EAF=45°．

【应用】如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=m，点E在边BC上，且BE=2．

（1）若m=8，点F在边DC上，且∠EAF=45°（如图3），求DF的长；

（2）若点F在边DC上，且∠EAF=45°，求m的取值范围。

本题的几个小题之间是相互联系的，解决此类问题要讲究策略（称为“移花接木”），策略正确则事半功倍，而策略是抽象性的认识，为思考问题提供方向性指导。如果掌握了“移花接木”策略，就容易想到把后面的问题转化为前面的模型或迁移前面的思路方法，图2构造转化如下：

第（2）问与之一脉相承，构造如下：

抽象能力决定思维高度，越是抽象的认识，指导性越强，适用性越广。

为什么想不到？因为抽象能力不够，所站高度不够，导致缺少思维的策略与方法。

所以无论干什么，既要做具体的事，又要悟抽象的理，没有理的指导，做事就变成蛮干而低效。

理以事显，事以理成，理事圆融，方得大道。