在立体几何中,经常出现几何体上两个点A、B,求在几何体表面从点A到点B的路径最短问题。这类问题很多,处理它的基本思路是空间问题平面化,把点A到点B的路径放到一个平面上,在平面上折线长最短为两点间线段长,化折为直。当然,在平面上处理的时候,要结合一些平面几何和解析几何的知识,下面给出三个例题,我们来体会一下这类问题:
【评注】这个题目的亮点在于从点A两圈到点A1,两圈,刚开始好像没有思路,仔细思考下,两圈实际上就是把棱柱侧面沿AA1展开两次,这一点我们要好好体会。
【评注】这个题目是一个常规问题,考点主要在于从M到N有多种途径,我们必须把每种途径的最短路径求出来,然后再比较哪种最短。这种类型的问题很多,主要是沿哪种途径,就把这种路径下的棱柱剪开,把路径经过的表面展开到一个平面下,求从M到N的线段长,当然计算线段长要运用一些几何知识。
【评注】这个题目比较新颖,新在三个点中两个点在动。我们在矩形ABC1D1中考虑问题,仔细观察发现,这实际上是一个解析几何问题:
两点在直线同侧,求直线上一点和这两点所成线段长的和的最小值;
一般我们这样处理,把其中一点关于直线对称,把两点在直线同侧转化为两点在直线异侧,然后三点共线时折线长最短。
然而这道题目,把点E关于直线BD1对称点E'后,因为点F在C1D1上,所以折线长最短实际上是点E'到C1D1的距离。这道题可以说是立几中的解几问题,这种综合性的“跨界”问题很考验学生的解题和计算能力。
数学的考察很多时候并不仅仅体现在题目所展示的“显性”知识点上,更多的体现在一些“隐性”知识点上。比如,我们在处理一些问题的时候,运用等价转换的思想,可以从一个知识点“穿越”到另外一个知识点,从而达到把复杂问题简单化的效果。
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