微考点：谈谈四面体侧面垂心的一个性质-你有,我有,大家有！

    2019届南昌市理科数学一轮复习试卷第（十）套 T6：

    这道题是一道非常好的题，它有很多证明方法，证明过程的叙述也有很多方式。这个题目实际上给出的是四面体侧面垂心的一个性质：

    如果四面体的一个顶点在底面上的投影是底面三角形的垂心，那么其他顶点在对应底面上的投影也是底面三角形的垂心！

    四个顶点在对应底面的投影，有一个是垂心，就有其他的投影是垂心，进而大家都是垂心，所以说“你有，我有，大家有！”

    下面我来看两道题，体会下这个性质的应用：

    

【评注】从这两个题目我们可以看出，四面体侧面垂心性质的应用非常关键，可以说是下一步解题的必要条件。正三角形的重心、内心、外心、垂心“四心合一”为中心，反之，一个三角形的四心中只要有“两心合一”，那么这个三角形就是正三角形。这些很平凡的平面几何性质有时候非常的有用。

    下面我们再来看两道有关垂心的问题：

【解析】（1）外心；（2）内心；（3）垂心；（4）垂心

    这是一道很常见的问题，尤其是（3）、（4），它体现了线线垂直→线面垂直→线线垂直，这个常见垂直链条的运作。

【评注】这个题目的证明过程和上面我们总结的四面体侧面垂心性质的证明非常的相似。题目中三角形的垂心实际上就是为题目提供线线垂直的条件。

    立体几何的精髓之一就是垂直，线线的共面垂直、异面垂直，线面垂直，面面垂直，三种垂直之间相互的转化是立几的重要考察内容。在具体处理问题的过程中，我们要证线线垂直，大致就是转化为其中一条线垂直另外一条线所在的面；要证线面垂直，又转化为线线垂直；要证面面垂直，再转化为线面垂直等等。所以说，立体几何除了能锻炼人的空间想象能力，还能培养人的逻辑思维能力，面对问题，一步一步来，每一步都言之有据，每一步都言之有物！