秒杀客观题：托勒密不等式

2018年福建省高三毕业班质量检查理科数学第16题如下：

解法如下：

有没有秒杀之法呢？

观察命题1的证明过程，我们发现，只要等式

     (b - a)(d -c) (d - a)(c -b)=(a -c)(b - d)   

.......  (2)

能够成立，A、B、C、D四点就一定满足几何关系(1)。而等式（2）成立只需要有实数加法、乘法交换律、结合律以及分配律即可。而复数的加法、乘法运算也是满足这些运算定律的，所以等式（2）在复数中也是成立的。因此将a，b，c，d视为复数，结合复数的几何意义，我们有

特殊地，我们有

由命题2 ，就可以秒杀上面的客观题啦！

在四边形ABCD中，由托勒密不等式有

附注1：托勒密定理的几何证明也是饶有趣味的，见下图：

               

当我们使用旋转与相似变换将三角形ABD变换到三角形BMC位置时，三角形ABM与三角形DBC也是相似的。对三角形AMC使用两边之和大小第三边就得到托勒密不等式了。

附注2：等式(1)也可以用角的形式来表示，如下图：

用三角形面积可以很快由(1)得到上述三角等式。