复合最值问题：从极端情形入手2

今天继续看一道复合最值问题，使用的方法仍然是从极端情形入手进行分析：先根据函数图像估计出复合最值存在时的极端情形，再利用特殊点建立函数值的等量关系，最后利用绝对值不等式证明自己的结论，并根据等号成立的条件，求出取到复合最值时函数的解析式。

先上题：

看解答：

因此，M的最小值为1/4。

评注：

我们知道，三次函数的图像是中心对称图形，对称中心是二阶导数等于0的点。我们还知道，首项系数为正数的三次函数的图像有两类：（1）在R上单调递增；（2）在R上先增后减再增，此时三次函数有两个极值点。如下图：

显然第一类不是最大值M取到最小的情形，第二类才会使M取到最小值。并且不难想到：当M取到最小值时，端点处的函数值f(1),f(-1)与两个极值的绝对值相等！

如果我们还注意到，第二类三次函数有如下性质：

设O是三次函数的对称中心，A、B分别是三次函数图像上函数值取极值时对应的点，D、C处三次函数的函数值分别与A、B处相等，则这五点的横坐标可以形成一个等差数列。如图：

那么很容易想到自变量x分别取1，-1，1/2，-1/2时，函数图像上对应的四点是我们需要的特殊点。进而利用这四点处的函数值消去a,b,c，建立上述四函数值的等式，再利用绝对值不等式进行放缩，很快就可以得到上面的解法。

实战操练：

下面来看2016年天津高考压轴题最后一问：

用上面的方法可以非常高效地解决第三问。

如果用普通的方法来解，请看：

太麻烦了，分类讨论真的太麻烦了！

蒙上自己的眼睛，看下去的心情都没有，过，PASS！