许兴华：从一道函数值域题的一题多解看教学研究

注：此题的通解通法，一般都是换元后，转化为二次函数在给定区间上的值域问题，这是我们数学老师通常给学生介绍的常规解法。解法如下：

下面，我们从“老师的角度”来研究此题的“一题多解”，主要有两个目的：

（1）提高数学老师的教学研究水平和探究能力；

  (2）培养学生钻研数学浓厚的学习兴趣并提供研讨的方向。

【解法二】（判别式法）易知函数f(x)的定义域为：（-∞，1]，

【思考三】作为数学教师，我们先用几何画板，非常轻易地画出函数f(x)的图象如下图所示：

从图象中容易看出：函数在（-∞，0]上是增函数，在[0,1]上是减函数。

那么，如何研究函数的单调性呢？显然，我们可以用“导数方法”！所以，我们就有下面的解法。

【解法三】（导数方法）

我们通常认为，有了以上三种较为简便的方法介绍给学生，已经足够了，但作为数学教师，我们是否还可以有别的方法呢？能够很好地研究数学题的“一题多解”，体现出一个优秀教师的数学基本功及数学教学研究能力。

下面的方法就是一些有益的尝试。
【解法四】利用二次函数根的分布。

【解法五】再次利用“二次函数根的分布”。

【评注】以上的解法四与解法五都是利用“二次函数根的分布”方法来解，解题过程中用到相关的不等式时须注意“不等式的同解或等价转化”，否则，就容易导致解题结果的错误。
【解法六】利用三角换元法。

用上面的形式，教师非常容易随便地给学生命制类似的数学题，例如：