最近在学习svm算法,借此文章记录自己的学习过程,在学习很多处借鉴了z老师的讲义和李航的统计,若有不足的地方,请海涵;svm算法通俗的理解在二维上,就是找一分割线把两类分开,问题是如下图三条颜色都可以把点和星划开,但哪条线是最优的呢,这就是我们要考虑的问题;
首先我们先假设一条直线为 W·X+b =0 为最优的分割线,把两类分开如下图所示,那我们就要解决的是怎么获取这条最优直线呢?及W 和 b 的值;在SVM中最优分割面(超平面)就是:能使支持向量和超平面最小距离的最大值;
我们的目标是寻找一个超平面,使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面,我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。
如上面假设蓝色的星星类有5个样本,并设定此类样本标记为Y =1,紫色圈类有5个样本,并设定此类标记为 Y =-1,共 T ={(X₁ ,Y₁) , (X₂,Y₂) (X₃,Y₃) .........} 10个样本,超平面(分割线)为wx+b=0; 样本点到超平面的几何距离为:
此处要说明一下:函数距离和几何距离的关系;定义上把 样本| w▪x₁+b|的距离叫做函数距离,而上面公式为几何距离,你会发现当w 和b 同倍数增加时候,函数距离也会通倍数增加;简单个例子就是,样本 X₁ 到 2wX₁+2b =0的函数距离是wX₁ +b =0的函数距离的 2倍;而几何矩阵不变;
下面我们就要谈谈怎么获取超平面了?!
超平面就是满足支持向量到其最小距离最大,及是求:max [支持向量到超平面的最小距离] ;那只要算出支持向量到超平面的距离就可以了吧 ,而支持向量到超平面的最小距离可以表示如下公式:
故最终优化的的公式为:
根据函数距离和几何距离可以得知,w和b增加时候,几何距离不变,故怎能通过同倍数增加w和 b使的支持向量(距离超平面最近的样本点)上样本代入 y(w*x+b) =1,而不影响上面公式的优化,样本点距离如下:如上图其r1函数距离为1,k1函数距离为1,而其它
样本点的函数距离大于1,及是:y(w·x+b)>=1,把此条件代入上面优化公式候,可以获取新的优化公式1-3:
公式1-3见下方:优化最大化分数,转化为优化最小化分母,为了优化方便转化为公式1-4
为了优化上面公式,使用拉格朗日公式和KTT条件优化公式转化为:
对于上面的优化公式在此说明一下:比如我们的目标问题是 。可以构造函数:
此时 与 是等价的。因为 ,所以只有在 的情况下
才能取得最大值,因此我们的目标函数可以写为。如果用对偶表达式:,
由于我们的优化是满足强对偶的(强对偶就是说对偶式子的最优值是等于原问题的最优值的),所以在取得最优值 的条件下,它满足 :
,
结合上面的一度的对偶说明故我们的优化函数如下面,其中a >0
现在的优化方案到上面了,先求最小值,对 w 和 b 分别求偏导可以获取如下公式:
把上式获取的参数代入公式优化max值:
化解到最后一步,就可以获取最优的a值:
以上就可以获取超平面!
但在正常情况下可能存在一些特异点,将这些特异点去掉后,剩下的大部分点都能线性可分的,有些点线性不可以分,意味着此点的函数距离不是大于等于1,而是小于1的,为了解决这个问题,我们引进了松弛变量 ε>=0; 这样约束条件就会变成为:
故原先的优化函数变为:
对加入松弛变量后有几点说明如下图所以;距离小于1的样本点离超平面的距离为d ,在绿线和超平面之间的样本点都是由损失的,
其损失变量和距离d 的关系,可以看出 ξ = 1-d , 当d >1的时候会发现ξ =0,当 d<1 的时候 ξ = 1-d ;故可以画出损失函数图,如下图1-7;样式就像翻书一样,我们把这个损失函数叫做 hinge损失;
下面我们简单的就来讨论一下核函数:核函数的作用其实很简单就是把低维映射到高维中,便于分类。核函数有高斯核等,下面就直接上图看参数对模型的影响,从下图可以了解,当C变化时候,容错变小,泛化能力变小;当选择高斯核函数的时候,随时R参数调大,准确高提高,最终有过拟合风险;
下面就直接上代码了(鸢尾花SVM二特征分类):
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