夸美纽斯（J. A. Comenius, 1592—1670）：“兴趣是创造一个欢乐和文明的教育环境的主要途径之一。”裴斯泰洛奇（J. H. Pestalozzi, 1746—1827）同样强调兴趣在教育中的重要性：
“兴趣是教育中的头等大事。在我们面临的情况中，教师、母亲应该尽力去激发兴趣和保持兴趣。几乎没有任何一种情况可以表明，儿童不够用功不是由于缺乏兴趣所致；或许也没有一种情况可以表明，缺乏兴趣不是由于教师采用的教学方式造成的。我甚至要将它作为一个法则定下来，无论何时，只要儿童对学习漫不经心，并明显地表现出对课程缺乏兴趣，教师就应该始终首先在自己身上找原因。”
“兴趣会促进一个人的较大的爱好，唯有有教养的人才能领会兴趣，兴趣按其本身来说能促进培养。教师要有熟练的技巧来活跃课堂教学，引起学生的浓厚学习兴趣，因为兴趣会使学生自然而然对真善美产生乐趣，并会使学生心甘情愿追求真善美。……用什么方法来引起学生的学习兴趣呢？我认为首先教师本人要从内心喜欢讲授课文，并把兴趣转移到学生身上；第二，教师要以学生的学习兴趣为教学的前提；第三，不言而喻，教师要按照教学论授课；第四，主要培养学生的情感和觉悟，教学生既有知识又有能力，教学生勇往直前。”
M·克莱因认为，为了激发学生的兴趣，每一个教师都应该是一名演员：
“他必须用在剧院中使用的每一种技巧来活跃他的课堂。在适当的时候他应该是富于戏剧性的。他不但应该有知识，而且应该有激情。为了激发人的兴趣，他甚至可以行为古怪一点。他不应害怕幽默，而应随意使用它。即使是一个无关的玩笑或故事也能大大地活跃课堂。” 事实上，克莱因将激发学习兴趣作为数学教学的四个原理之一。他认为，教师应该介绍历史背景，如果它是有趣的和有启发意义的。
王梓坤（1997）院士指出：“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣，这等于给了他们长久钻研数学的动力。优秀的数学教师之所以在学生心中永志不忘，就是由于他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊火焰。”
那么，数学史能否激发学生的学习兴趣呢？美国数学家魏尔德（R. L. Wilder）指出：“众所周知，一个最困难的问题是学生自以为对数学没有任何需要，愤恨被迫学习数学。假如他能够精神自主的话就不要学数学。要解决这类问题，只强调数学的技术是不够的，一定要用到别的一些方法。对有能力欣赏数学在历史上所扮演的角色的学生，如一位教师还不能使学生们被数学所吸引，这位教师就不应再任教了。”在魏尔德看来，数学史素养对于一个合格的数学教师而言是不可或缺的。因此他提倡在大学开设数学史课程。
数学的背后充满着人文精神（人性、理性、超越性），而数学故事则是人文精神的重要载体之一。笔者对选修《数学史与数学文化》的61名师范生作了一次关于“课程期望”的调查，结果表明，希望教师能在课上多讲述数学或数学家故事的学生所占比率是最高的，见图1-1。许多职前教师表示，长期的数学学习并没有让自己从心底里产生对数学的兴趣，迫切希望用数学历史文化知识来充实自己，提高自己的数学文化素养，改变原有的消极的数学观，进而在未来的教学生涯中让自己的学生能热爱数学和欣赏数学。的确，重分数轻情感、重技术轻文化、重教书轻育人的数学教学现状使得人文精神远离数学。职前教师们期盼着数学人文精神在教育中的回归。
图1-1 职前数学教师对数学史课程内容的期望
虽然数学史文献浩如烟海，但多数中学数学教师所掌握的可直接用于课堂的材料却极为缺乏。数学教学呼唤教育取向的数学历史研究，开发与中学教学内容相契合的数学史、数学文化案例，为中学数学教学提供有关教学素材，将是HPM研究的重要内容之一。本文整理可用于中学数学课堂的历史故事，旨在为初中数学教师提供丰富和改善课堂教学的素材。
奴隶之忆
古希腊哲学家苏格拉底（Socrates, 公元前469—前399）认为人是灵魂先存的，知识早已存在于人的头脑中，只不过是人们遗忘了而已。柏拉图的《米诺》记载了苏格拉底和贵族米诺之间的对话，阐述了苏格拉底的“知识即回忆”的思想，其中运用了著名的“产婆术”。
为了向米诺讲解其“学习即回忆”的思想，苏格拉底让米诺找来一个小奴隶，在沙地上画了一个正方形ABCD，小奴隶知道这个图形的四条边相等。苏格拉底又问小奴隶，如果这个正方形的面积为4，可否画一个面积大一倍的正方形。小奴隶说，要使面积变为二倍（8），边长也要变为二倍（4）。苏格拉底一边讲，一边画出图1-2。按小奴隶的意思，正方形AJKL面积为8；但事实上它是原图的4倍，于是产生矛盾。于是，小奴隶改口说边长应为3，却又发现此时面积为9。小奴隶陷入困境，于是，苏格拉底又画了图1-3。
图 1-2 面积为4的正方形
图 1-3 面积为8的正方形
在苏格拉底的启发下，小奴隶认识到，每一个小正方形的对角线将每一个正方形二等分，并逐渐认识到EFGH便是所求的正方形。整个过程中，苏格拉底并没有告诉什么，一直采用提问的方式，但小奴隶最终还是得出了正确的答案。米诺终于信服苏格拉底的思想。
盗贼分赃
五代高彦休在《唐阙史》卷下“杨尚书补吏”一节中讲述了这样一则故事：尚书杨损在选拔官员时公正无私，杜绝腐败。一次，使院分管兵籍的职位空缺，有两位候选小吏前来应聘。这两人原来的职位相同，工作年限一样，过去的工作业绩也不分高下。这一下可难倒了招聘负责人，他只好请杨尚书决断。杨尚书俯首沉思良久，最后想出了高招：让两位候选人做数学题。他对负责人说：“做官最重要的是要算得快。现在请两位候选人听我出题！”杨损的题目是这样的：
一位行人傍晚经过一个树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是一群窃贼在讨论分赃之事。只听得窃贼说：“每人6匹，则多出5匹；每人7匹，则又3少了8匹。试问：窃贼共有几人，赃物共有几匹？”其中一名小吏先算出正确答案，于是得到升迁。
明代程大位在《算法统宗》中编制了以下问题：“昨日独看瓜，因事来家。牧童盗去眼昏花。信步庙东墙外过，听得争差。十三俱分咱，十五增加。每人十六少十八。借问人瓜各有几？已会先答。”
17世纪日本数学家吉田光由（1598—1672）在《尘劫记》中记载：“有盗布者，聚于桥下分赃。恰有过桥者，听得争论：每人12 匹，余12 匹；每人14 匹，不足6 匹。问盗贼几人、盗布几匹？”（图1-4）
图1-4 《尘劫记》中的插图
《唐阙史》、《算法统宗》和《尘劫记》所载的数学问题，都属于汉代《九章算术》中的盈不足问题。
海滨奇思
叙拉古是古希腊的一个独立城邦。叙拉古国王希罗（Hiero,？—前215）之子盖罗（Gelo,?—前216）是大数学家阿基米德（Archimedes, 公元前287—前212）（图1-5）的好朋友，阿基米德的《数沙者》就是题献给他的。在书的开篇，阿基米德告诉盖罗，世人对沙粒的数目存在误解，认为无论是叙拉古，或是西西里岛上叙拉古以外的地方，或是地球上任何一个有人居住或无人居住的地方，沙粒数都是无限的，即使有人认为沙粒数并非无限，也认为不存在比它更大的数。可是，阿基米德却说，他能用几何方法证明，他所命名的大数能超过装满整个地球、甚至装满整个宇宙的沙粒数。根据这则文献，后人编写了一个有趣的、在某种程度上颇为真实的故事：
公元前3世纪后半叶的某一天，阿基米德和他的朋友叙拉古王子盖罗在海边散步。阿基米德三句不离本行，谈起了大数问题。
图1-5 阿基米德（希腊，1983）
“我们脚下的这片沙滩共有几粒沙呢？”阿基米德问朋友。
“想必有无穷多粒吧。”盖罗回答。
“那么，整个西西里岛上的沙粒数呢？”阿基米德接着问。
“当然也是无穷。”盖罗不假思索。
“可是，亲爱的朋友，不仅是西西里岛，世界上任何一个地方的沙粒数都是有限的。我可以证明，我能找到一个大数，使得装满整个地球、甚至整个宇宙的沙粒数不超过这个数！”阿基米德自信地说。注意，那时候的天文学家认为，宇宙就是以地球为中心、以地日距离为半径的球。
“是真的吗？不可思议！”盖罗睁大眼睛看着数学家。
“对于没有学过数学的人来说，这的确令人难以置信。”阿基米德回答。
接下来，阿基米德开始向朋友详细介绍自己的大数记数法。从1数到1万（当时希腊人称之为“myriad”），再从1万数到1万万，将1到1万万称为一阶数；从1万万数到1万万个1万万，称之为二阶数；从1万万个1万万数到1万万个1万万个1万万，成为三阶数；…，最后，数到1万万阶数。
虽然盖罗平日里常常向阿基米德学数学，但他还是有点晕。阿基米德最后告诉朋友，根据他的几何证明，若将沙粒看作罂粟壳那么大，装满整个宇宙的沙粒数不超过1000个七阶数（1后面有51个零），而装满整个亚里士塔克斯恒星球的沙粒数则不超过10,000,000个八阶数（1后面有63个零）。
盖罗强烈要求阿基米德将他的大数记法和计算沙粒数目的方法写成书，让更多的希腊人学习。
无独有偶，中世纪意大利数学家斐波纳契（ Fibonacci, 1170?—1250?）在解著名的棋盘问题时，也遇到了一个难以表达的大数，斐波纳契被迫给出一种记法：先算出棋盘前两行之和，再加1，得65536；将65536比占的金币装入一个保险箱，将65536个这样的保险箱放进一座房子，再将65536座这样的房子放进一座城市。于是，65536座这样的城市所含的金币数减去1，就是棋盘上所有数字之和。
在没有幂的表示方法的时代，要表达一个大数是多么地不易啊！
注：本文摘选自汪晓勤教授所著《HPM：数学史与数学教育》，个别词有增删。
作者简介：汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授，博士生导师，HPM工作室主持人。主要从事数学史与数学教育研究。
第1章源流与背景
本章追溯了HPM的历史源流，考察了西方学者对“为什么要将数学史融入数学教学”所作的讨论，系统阐明了HPM的学术价值和对数学教学的现实意义，呈现了一线教师对于数学史教育价值的认识和他们在实践中的困惑。这里，我们将从卡约黎、史密斯、琼斯、萨顿、F·克莱因、波利亚、弗赖登塔尔、M·克莱因、福韦尔等名家的学术思想中获得心灵的启迪；我们也能从职前和在职数学教师的期望中感悟到HPM研究选择“自下而上”路径的必要性。
第2章情感与信念
本章从“历史上的数学故事”、“情境中的数学概念”、“文化中的数学主题”和“课堂上的另类素材”四个方面，挖掘典型的历史和文化素材，揭示数学史在数学教学的情感、态度、价值观目标上所能起到的重要作用。这里，我们将欣赏到那些与中学数学主题背后精彩的数学故事和历史情境，感悟到数学与生活、工程、文学、建筑、艺术等的密切联系；我们也从数学家在创造过程中犯错的历史事实中感悟到数学活动的本质。课堂上还数学一个本来面目，可以培育学生积极的情感、态度和价值观。
第3章概念与思想
作为教育取向的数学史研究，本章基于历史文献和研究文献，对负数、无理数、函数、三角函数、斜率等概念的起源作了探讨，对对数、元、奇函数、偶函数等数学术语的来历作了考证，对字母表示数、解析几何等数学思想的历史过程作了梳理，对同底数幂运算法则、解方程组的克拉默（又译克莱姆）法则、两点之间距离公式、向量的加法法则等的发现作了考察。数学史丰富和完善了中学数学教师的专门内容知识、内容与教学知识、内容与学生知识以及内容与课程知识，可以帮助教师回答教学中的各种各样的疑难问题。
第4章公式与定理
上下数千年，数学的历史积淀了先哲们的思想精华；数学的历史是一座宝藏，其中蕴含了取之不尽、用之不竭的教学资源。作为教育取向的数学史研究，本章基于历史文献和研究文献，对历史上圆面积公式、一元二次方程求根公式、等比数列求和公式、和角公式、三角形内角和定理、均值不等式、椭圆方程、正弦定理、余弦定理等公式或定理的推导或证明进行了深入的考察。面对数学历史这座宝藏，我们难免发出“太阳底下无新事”的感叹；深入这座宝藏，教师的专门内容知识、内容与教学知识以及内容与课程知识将得到丰富和完善。
第5章问题与求解
倘若历史是沧海，我们所知便只是其中之一粟；倘若历史是天空，我们所见便只是其中之一角。数学史为我们提供了丰富多彩的问题及其解法。本章呈现了东西方数学历史文献中的一元一次方程、一元二次方程、勾股定理、等差数列、等比数列、分式方程、无理方程、因式分解等主题上的问题与解法，并将源于古代两河流域的“和差术”运用于今日高考数学问题的求解。基于数学史的问题提出和问题解决，必将成为未来HPM研究的重要课题。
第6章附加与融合
本章提出教科书中的数学史的运用方法分类框架，据此对法国Belin版数学教科书进行了分析。接着，将研究对象扩展至历史上的教科书，对20世纪20年代的一部三角学教科书中的数学史料进行了剖析。最后，以建筑为例，考察了美国早期若干几何教科书中的数学文化，从中透视20世纪初培利运动背景下的美国几何课程理念，为今日教科书编写提供借鉴。
第7章历史与现实
本章介绍关于HPM重要理论基础——发生原理/历史相似性的实证研究案例，涉及字母表示数、负数序关系、角的概念、古典概率、函数概念、复数概念、无穷级数、实无穷、切线等主题。这些案例告诉我们，如果今日学生对某个数学主题的理解存在历史相似性，那么，数学历史就成了数学教学的一面镜子，间接为数学教师提供了“内容与学生知识”、“内容与教学知识”，正如M·克莱因所说：“历史是教学的指南”。
第8章实践与开发
本章通过9个HPM教学案例，探讨数学史融入数学教学的具体方法，展示HPM教学设计、实施、评价的过程，它们分别是：一次方程组、平方差公式、分数指数幂、内角和定理、对数的概念、复数的引入、棱柱的定义、椭圆的定义、导数的应用。这些案例大多是HPM实践共同体共同研讨的成果，虽然不尽完善，但取得了较为理想的实践效果；同时，为未来更多教学案例的开发提供了范例。HPM视角下的数学教学实践与案例开发，无论现在还是将来，都是HPM领域的重要研究方向之一。
第9章行动与成长
本章以两位中学数学教师A和B为研究对象，探讨HPM教学实践在促进教师专业发展方面的有效性。A和B在进入HPM领域之前，都已经有了较为丰富的数学教学经验。在专业发展的瓶颈期，他们邂逅HPM，喜爱HPM，实践HPM，HPM成了他们专业发展的助推器。
从本书中，读者可以深切感受到，HPM是一个富有魅力、前景广阔、特色鲜明、价值巨大的学术领域。在本书的封面上，有三幅几何图形被置于时空隧道之中：圆柱内的旦德林双球模型、建筑中的拱券及其内切圆窗、开普勒求圆面积的方法。时空隧道中的三幅图代表着本书作者的理想和梦想：在历史与现实、数学与人文之间各架起美丽的桥梁，在数学教育研究的道路上无怨无悔，不断前行，直达理想的彼岸。
且让我们携手走进HPM的美丽世界，秉承“领悟、勤奋、协作、高效、包容”的精神，不断学习、不断耕耘、不断丰富和完善HPM的内涵，一起开创数学教育美好的明天。
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