吴军数学通识讲义
4.1鸡兔同笼问题：方程这个工具有什么用
很多人在中学学习列方程和解方程时都会有一个疑问，我将来也不当数学家，为什么要学它。方程从本质上讲是人类设计出的一种数学工具，利用这种工具，解决一些在算术中遇到的难题特别方便。通过学习列方程和解方程，掌握利用工具的方法，初中数学学习的目的就达到了，对数学的认识自然也就提高了。比如，我们在小学遇到的难题鸡兔同笼问题，用上方程这个工具，就变得非常简单了。
1．鸡兔同笼的中国式解法
鸡兔同笼问题大家应该不陌生，今天小学生都要学习解决这一类问题，在国外也有类似的问题，只是有时鸡和兔换成了鸡和羊。这些问题对小学生们来讲之所以显得难，是因为在没有学习解方程之前，解决问题所用的解题技巧并不直观。因此，绝大多数人虽然学习过，但长大之后基本上就忘了。我曾经问过十几个工作了几年的、有大学文凭的人，只要他们没有继续辅导孩子，大部分人都已经忘了怎么做了。
鸡兔同笼问题最初出现在中国南北朝时期的《孙子算经》中，它是这样记载的：
例4.1：在一个笼子里，有鸡和兔子，从上面数数出来35个头，从下面数数出来94只脚，请问鸡和兔子各有几只。
对于这个问题，《孙子算经》给出了一个很巧妙、但是小学生们难以理解的解法，大意如下：
(1）将所有动物的脚数除以2(94/2=47)。这样每只鸡有1只脚，每只兔子有两只脚。鸡脚数和头数一样，兔子脚数比头数多1。
(2）假设所有的动物都是鸡的话，就应该有35只脚，但事实上有47只脚。
(3）如果将1只鸡换成1只兔子的话，就会使得脚数增加1。用47减去35，得到12，说明需要有12只鸡被换成兔子，这就是兔子的数目。
(4）知道了兔子的数目，鸡的数目也就知道了。
这个解法小学生们很难理解，因为将所有动物脚的数量除以2，找不到对应的物理含义，道理讲不清楚，不直观。此外，这个解题技巧很难举一反三，因为这样的技巧学得再多，对数学的进步也没有太大的意义，比如我把问题改一下：
例4.2：三轮车和汽车（四轮）的数量一共是20辆，有65个轮子，请问有多少辆汽车，多少辆三轮车？
这个问题就无法用《孙子算经》中的方法解决﹣﹣无论先把车辆的轮子数除以3，或者除以4，都行不通，因为65既不能被3整除，也不能被4整除。在古代东方文明（除了中国外，也包括古印度和日本）的数学著作中，有很多对特定数学难题的解法，那些解法并不缺乏巧妙性，但是它们给出的都是对一个个具体问题的解法，缺乏系统性。再多的这类技巧也难以穷尽我们所遇到的各种数学问题。
同样的道理也可以用在学习上，如果一个人花了很大力气还学不好数学，就要想想是否在学习方法上出错了，是不是把重点放在了零碎知识的积累和具体解题技巧的掌握上？这就等于走歪了路因为每一次学到的新方法可能对后面的学习都没有太大的帮助。更好的学习方法是重视前后知识的逻辑联系，让前面学到的方法能为后面所用，实现可叠加的进步。
我们今天小学里教的解鸡兔同笼的方法，在逻辑性和通用性方面就要比古代的方法好很多。通常学校里会这么教：
(1）我们假定笼子里全是鸡，那么应该有35x2=70只脚。
(2）现在有94只脚，多出24只脚，就应该是由4只脚的兔子
造成的。
(3）如果我们用1只兔子替换1只鸡，就会多出两只脚，那么替换24只脚需要多少只兔子呢？
(4）现在多了24只脚，于是就有12只兔子（24/2=12),下的就是鸡。
这个方法和真实的生活（兔子比鸡多两只脚）可以对应，逻辑清晰，比《孙子算经》的方法好理解得多，而且通用性也好很多能够举一反三。比如我们就可以用这个方法来直接解决例4.2中的汽车和三轮车的问题，具体做法是这样的：
(1）我们假定都是三轮车，那么应该有20x3=60个轮子。
(2）现在有65个轮子，多出了5个轮子，应该由是汽车造成的。
(3）如果用1辆汽车换1辆三轮车，就会多出1个轮子。
(4）现在多出了5个轮子，因此应该有5辆汽车。
在学校里，孩子们如果遇上一个能把鸡兔同笼问题讲透的好老师，真正学懂了，再遇到汽车和三轮车的问题，即便老师没有讲，聪明一点的孩子也能做出来。当然依然会有一些同学做不出来，因为他们只是背下来了鸡兔同笼算法，只记住了一只兔子腿的数量是鸡的两倍。这些学生要考高分，只好多做题，把三轮车的题目也做一遍，这样不仅把自己搞得很辛苦，而且能否考好全凭运气。
要求一个二、三年级的小学生真正领悟上述方法的精髓，其实挺难的。再要求他们能够灵活运用，就更有点不切实际。事实上大部分小学生在学懂了鸡兔同笼问题后，还是做不出下面这道题：
例4.3：红皮鸡蛋5元3个，白皮鸡蛋3元两个，小明花了19元，买了12个鸡蛋，问红皮和白皮鸡蛋各几个？
这个问题其实是鸡兔同笼问题进一步的变种，但是用上面改进的鸡兔同笼的解法并不管用。读者朋友如果有兴趣，可以试着不用方程这个工具，看看能否找到解法。对于那些想参加奥数比赛的学生，老师会再教给他们一个新的技巧解决这一类问题。但是，数学问题是无限的，技巧也是学不完的，而学生们的时间却是有限的。按照《庄子》的说法，用有限的时间学无穷的方法，是没有希望的。
2.鸡兔同笼的美国式解法
那么能不能针对所有这一大类问题，提供一个比较容易掌握的寻找答案的思路呢？美国人的教法很有趣，我一开始觉得他们的教法很笨，后来细想想，又觉得有些道理。
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大堆不容易学会、孩子遇见问题时也不知道该挑选哪一个来用的巧妙方法，更有价值。这种笨办法还有一个好处，就是让学生们在列表的过程中，感受到数字变化的趋势，慢慢地就知道该从什么范围进行试验。
不仅是对于鸡兔同笼问题美国老师不讲解题技巧，而且其他的解题技巧他们在小学也很少教，免的学生学不会，有挫败感。对于那些聪明的孩子，可以去上课外班，或者在私立小学干脆和高年级的学生一起去上课。相比之下，中国学校里教的那些聪明办法，常常和具体问题有关，除非是悟性很好的学生，普通孩子记不住多少，真到了用的时候也很难举一反三。
当然，如果数字很大，列表的方法通常就不太管用了。这时，老师会告诉大家，别着急，到了中学（或者小学高年级），学了解方程，那些题目你们就自然就会了。事实上也是如此，那些在小学低年级看似很难的问题，学会使用方程这个工具，就都迎刃而解了。
但遗憾的是，大部分学校在教授方程这部分内容时，并没有通过它培养起学生使用数学工具的好习惯。因此，很多人在离开学校之后，除非要辅导孩子，可能一辈子不会再碰方程，自然也忘记了如何解方程。很多人甚至质疑为什么要学习它。但是，有些人则通过对方程这个工具的学习，慢慢学会了如何使用工具解决问题。
3．鸡兔同笼的方程解法
接下来，我们还是以上面的鸡兔同笼问题为例，说说方程这种工具的妙用。
在上述问题中，我们假设鸡有 x 只，兔子有 y 只，由于题目告诉了我们鸡和兔子的总数是35，我就得到第一个方程：
x + y =35。
如果只有一个方程，可能会找出许多符合条件的鸡和兔子的数量组合，比如 x =10, y =25，或者 x =12, y =23都可以。要得到唯一确定的解，就需要让鸡和兔子的数量满足第二个条件，即脚的总数是94。我们知道鸡有两只脚，兔子有4只，于是我们就有了第二个方程：
2x+4y=94。
上述两个方程因为有两个未知数，因此就构成了一个二元的方程组。所谓的元，即未知数。由于每一个未知数的次方都是1，也就是说，没有出现未知数相乘或者开根号的情况，因此它们被称为一次方程。解方程的方法任何一本初中数学书中都有，我们就不讲了。需要指出的是，列方程这种方法其实和美国小学教的列表的笨办法有些关联性。那种列表法在枚举鸡和兔子数量时，一直在满足第一个方程，而在确定唯一解时，是通过不断地计算第二个方程左边的表达式，看看什么时候和右边相等。因此，把列表法讲清楚，其实对理解方程和列方程是有帮助的。
有了方程这个工具，汽车和三轮车的问题就迎刃而解了，我们假定它们的数量分别是 x 和 y ，相应的方程组是：
｛x + y =20
3x+4y=65｝
解方程后， x 和 y 分别是15和5。
对于鸡蛋的问题，我们假设红皮鸡蛋和白皮鸡蛋各是 x 和 y 个，每个红皮鸡蛋是5/3元，白皮鸡蛋是3/2元，相应的方程组就是：
｛x + y =12
(5/3) x +(3/2)y=19｝
解方程后， x 和 y 分别是6和6。
上述三组方程，对于小学高年级的学生来讲，做出来是分分钟的事情。这可比前面说的那些方法容易多了。在小学，比鸡兔同笼更复杂的一类问题是牛吃草问题，这是牛顿编出的一道数学题，我把它放在了后面的思考题中了。对于这个问题，如果没有方程这个工具，单纯靠算术来解会比较复杂。
从这些例子中，我们也能够体会方程是什么了。
4．方程的术与道
从术的层面讲，方程是一种工具，这种工具能够把原来用自然语言描述的数学问题，变成数学上的等式。在等式中，我们所需要计算的数量可以先用一些未知数来代表，这个未知数就是变量。方程这个工具的便利之处在于，它有一整套合乎逻辑的解法，因此，只要通过一两个问题掌握这个方法，就能把成千上万的问题解决掉。掌握好工具才是学习数学的正道，而不是做更多的题。
在使用方程这个工具时，最难的部分是把用自然语言描述的现实世界的问题变成用数学语言描述的等式，这也就是我们常说的列方程。人的作用其实相当于一种翻译器，做练习题的目的就是练习把自然语言翻译成数学语言，然后用现成的工具解决它们。学习数学也好、物理也好，关键不在于刷多少道题，而是在于理解这些知识体系中工具的作用。尤其是遇到很难的数学题，常常不是靠钻牛角尖苦思冥想来解决，而是要采用更高层次的工具。
古希腊以来，世界上出现了很多著名的数学难题，动不动就难倒人类上千年，比如古希腊数学中三个著名的几何作图题，费马大定理，哥德巴赫猜想和庞加莱猜想等。这些问题的自然语言表述很简单，它们的含义也很容易懂，因此在数学发展相对早期的阶段就被提出来了。但是，同一时代的数学工具都不足以解决它们，需要更高层次的工具才好解决。事实上，像三大几何作图题，虽然困扰了人们几千年，但一旦有了好的数学工具，解决起来就会非常容易。关于这些问题，我们在后面的内容会讲到。
很多年前我问一位美国华裔物理学家，为什么老一辈的理论物理学家（当时他们在50岁以上）很少能再发表具有轰动效应的论文？他回答说他们的数学工具不够先进，因为他们读研究生时学的数学和新生代科学家相比多有不足。我们常说，工欲善其事，必先利其器，这就说明了工具的力量。因此，作为数学通识教育，比讲授知识点更重要的，就是让大家体会工具的作用。当我们掌握了中学的一些数学工具后，小学的各种数学难题就变得非常容易。当我们掌握了微积分这个工具后，很多中学的数学难题就不值一提了。
在道的层面，方程的意义是指在思维方式上的意义。解方程这种方法从本质上讲是逆向思维——我们对于要求解的问题先存疑，带着疑问把问题描述清楚，然后反向推理，一步步得到答案。比如，我们遇到这样一个问题，'什么数加上3等于5?'，正向思
以下略
鸡兔同笼实质上是一个混合问题，可以用求混合比的方法来解决。
比如说，鸡兔同笼平均有两只脚，那么全是鸡，平均有三只脚，那么鸡兔混合比是1:1，平均有四只脚，那么全是兔。问题来了，如果平均有2.5只脚，那么鸡兔混合比是多少？
解：2.5=10/4=(4+6)/(1+3)，所以鸡数：兔数=3：1
现在回到古人的问题，头：足=35：94，请问鸡兔各有几只？
其实问题就是答案。请问平均有多少只脚？答：94/35。分析这个数字，就得到答案了。
94/35=2+(24/35)
也就是说鸡多兔少。括号里面是偏差值，如果没有兔子混进来，括号里面是零，混进来就产生偏差了。
括号里面是一个分数，想明白分数的含义，就得到答案了。
不卖关子了，打开天窗说亮话。分子24表示多了24只脚，平分给所有动物。这多出来的24只脚都是兔子造成的。多一只兔子多两只脚，所以混进来了12只兔子，鸡数就是35-12=23。
列表法是一个亮点。看上去是个笨办法，其实慢中有快；妙法虽快，其实快中有慢，因为一题一法，不是通法，不能举一反三。
华罗庚在《从孙子的神奇妙算谈起》这本小册子里也介绍了一个笨办法，可以找到物不知数这类问题的答案。
列表法也是函数的一种表示方法。比如质数和自然数的一一对应关系可以用列表法表示，函数解析式写不出来。
还可以用列表法研究一元二次方程的解法，举个例子：
表格
请看上表，回答问题：由上表可知，x²-x-2=0的两个根是( )。
列表法是画函数图像的基础，有了表格，函数图像呼之欲出。
微软数学制图
图二
图像看不清楚细节，就放大局部来观察：
图三
学了二次函数以后，不管你是看表格还是看函数图像，都可以立即写出对称轴是直线x=½。
从图三直接就得到方程的两根。这种解法就是图解法。
学了函数和解析几何以后，中学生对小学的鸡兔同笼问题有了更深刻的领悟。为什么知道了总头数和总脚数，就知道了鸡兔各几何？
请看下图：
微软数学制图
蓝线的直线方程是y=x+2，绿线的直线方程是y=½x+2，两条直线的交点坐标是方程组的解，x=0，y=2。这就是二元一次方程组的图解法。
鸡兔同笼问题可以用两条直线表示两个方程，交点坐标就是鸡兔同笼问题的答案。
在历史上，古巴比伦人造过平方表，立方表，甚至可以用这些数学用表解特殊的三次方程，欧洲人也造过一大堆数学用表。聪明的中国人却不愿费这种功夫。这是什么原因呢？
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